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root/REPOS_ERICCA/document/GMC1035/interpolation.tex
(Generate patch)

Comparing document/GMC1035/interpolation.tex (file contents):
Revision 948 by francois, Wed Aug 8 13:46:37 2018 UTC vs.
Revision 1048 by francois, Mon Aug 17 21:57:45 2020 UTC

# Line 175 | Line 175 | Ce système peut se résoudre grâce aux mé
175   \beta_0+20\beta_1=55\\
176   \beta_0+25\beta_1=60\\
177   \beta_0+30\beta_1=54\\
178 < \beta_0+35\beta_1=57\\
178 > \beta_0+35\beta_1=51\\
179   \beta_0+40\beta_1=52\\
180   \beta_0+45\beta_1=49\\
181   \end{array}
# Line 208 | Line 208 | soit sous un système matriciel
208   55\\
209   60\\
210   54\\
211 < 57\\
211 > 51\\
212   52\\
213   49\\
214   \end{pmatrix}
215   \end{eqnarray*}
216   \begin{eqnarray*}
217   \begin{pmatrix}
218 + 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\
219   0&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\
219 – 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1
220   \end{pmatrix}
221   \begin{pmatrix}
222   1&0\\
# Line 236 | Line 236 | soit sous un système matriciel
236   \end{pmatrix}
237   =\\
238   \begin{pmatrix}
239 + 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\
240   0&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\
240 – 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1
241   \end{pmatrix}
242   \begin{pmatrix}
243   55\\
# Line 247 | Line 247 | soit sous un système matriciel
247   55\\
248   60\\
249   54\\
250 < 57\\
250 > 51\\
251   52\\
252   49\\
253   \end{pmatrix}
254   \end{eqnarray*}
255   \begin{eqnarray*}
256   \begin{pmatrix}
257 – 225&7125\\
257   10&225\\
258 + 225&7125\\
259   \end{pmatrix}
260   \begin{pmatrix}
261   \beta_0\\
# Line 263 | Line 263 | soit sous un système matriciel
263   \end{pmatrix}
264   =
265   \begin{pmatrix}
266 < 11980\\548\\
266 > 548\\
267 > 11980\\
268   \end{pmatrix}
269   \end{eqnarray*}
270   \begin{eqnarray*}
271 < \beta_0=\frac{11980*225-7125*548}{225*225-10*7125}=58.61818181\\
272 < \beta_1=\frac{225*548-11980*10}{225*225-10*7125}=-0.169696969696
271 > \beta_0=\frac{7125*548-11980*225}{10*7125-225*225}=58.61818181\\
272 > \beta_1=\frac{11980*10-225*548}{10*7125-225*225}=-0.169696969696
273   \end{eqnarray*}
274   On retrouve exactement la même droite que précédemment $y=-0.1696969696x+58.6181818181$\\
275   On peut passer à un autre exemple pour faire passer une courbe de degré $2$ au travers des mêmes points. Dans ce cas la courbe a trois paramètres et s'écrit $y=\beta_0+\beta_1 x+\beta_2 x^2$.
# Line 323 | Line 324 | Les calculs précédents deviennent :
324   \end{eqnarray*}
325   \begin{eqnarray*}
326   \begin{pmatrix}
327 < 0&25&1000&225&400&625&900&1225&1600&2025\\
327 > 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\
328   0&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\
329 < 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1
329 > 0&25&1000&225&400&625&900&1225&1600&2025\\
330   \end{pmatrix}
331   \begin{pmatrix}
332   1&0&0\\
# Line 346 | Line 347 | Les calculs précédents deviennent :
347   \end{pmatrix}
348   =\\
349   \begin{pmatrix}
350 < 0&25&1000&225&400&625&900&1225&1600&2025\\
350 > 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\
351   0&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\
352 < 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1
352 > 0&25&1000&225&400&625&900&1225&1600&2025\\
353   \end{pmatrix}
354   \begin{pmatrix}
355   55\\
# Line 621 | Line 622 | P_n(x_1)&=&a_0+a_1(x_1-x_0)=y_1\\
622   On pose $f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}$ d'où $a_1=f[x_0,x_1]$\\
623   \begin{eqnarray*}
624   P_n(x_2)&=&a_0+a_1(x_2-x_0)+a_2(x_2-x_0)(x_2-x_1)=y_2\\
625 < & &f(x_0)+f[x_1,x_0](x_2-x_0)+a_2(x_2-x_0)(x_2-x_1)=f(x_2)\\
626 < a_2&=&\frac{1}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\left(f(x_2)-f(x_0)-(x_2-x_0)\right)f[x_0,x_1]\\
625 > & &f(x_0)+f[x_0,x_1](x_2-x_0)+a_2(x_2-x_0)(x_2-x_1)=f(x_2)\\
626 > a_2&=&\frac{1}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\left(f(x_2)-f(x_0)-(x_2-x_0)f[x_0,x_1]\right)\\
627   &=&\frac{1}{x_2-x_0}\left(\frac{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_1}-\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f[x_0,x_1]\right)\\
628   &=&\frac{1}{x_2-x_0}\left(\frac{f(x_2)-f(x_1)+f(x_1)-f(x_0)}{x_2-x_1}-\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f[x_0,x_1]\right)\\
629   &=&\frac{1}{x_2-x_0}\left(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\frac{x_1-x_0}{x_2-x_1}-\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f[x_0,x_1]\right)\\
# Line 966 | Line 967 | Le résultat donne la courbe suivante :
967   \end{center}
968   \begin{encadre}{À retenir}
969   La compréhension de la différence entre l'approximation et l'interpolation est fondamentale. A partir de cette différence, il est nécessaire d'être capable d'approximer ou d'interpoler une série de points de mesure.
970 < \end{encadre}
970 > \end{encadre}

Diff Legend

– Removed lines
+ Added lines
< Changed lines
> Changed lines