| 215 |
|
\end{eqnarray*} |
| 216 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 217 |
|
\begin{pmatrix} |
| 218 |
+ |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\ |
| 219 |
|
0&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\ |
| 219 |
– |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1 |
| 220 |
|
\end{pmatrix} |
| 221 |
|
\begin{pmatrix} |
| 222 |
|
1&0\\ |
| 236 |
|
\end{pmatrix} |
| 237 |
|
=\\ |
| 238 |
|
\begin{pmatrix} |
| 239 |
+ |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\ |
| 240 |
|
0&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\ |
| 240 |
– |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1 |
| 241 |
|
\end{pmatrix} |
| 242 |
|
\begin{pmatrix} |
| 243 |
|
55\\ |
| 254 |
|
\end{eqnarray*} |
| 255 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 256 |
|
\begin{pmatrix} |
| 257 |
– |
225&7125\\ |
| 257 |
|
10&225\\ |
| 258 |
+ |
225&7125\\ |
| 259 |
|
\end{pmatrix} |
| 260 |
|
\begin{pmatrix} |
| 261 |
|
\beta_0\\ |
| 263 |
|
\end{pmatrix} |
| 264 |
|
= |
| 265 |
|
\begin{pmatrix} |
| 266 |
< |
11980\\548\\ |
| 266 |
> |
548\\ |
| 267 |
> |
11980\\ |
| 268 |
|
\end{pmatrix} |
| 269 |
|
\end{eqnarray*} |
| 270 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 271 |
< |
\beta_0=\frac{11980*225-7125*548}{225*225-10*7125}=58.61818181\\ |
| 272 |
< |
\beta_1=\frac{225*548-11980*10}{225*225-10*7125}=-0.169696969696 |
| 271 |
> |
\beta_0=\frac{7125*548-11980*225}{10*7125-225*225}=58.61818181\\ |
| 272 |
> |
\beta_1=\frac{11980*10-225*548}{10*7125-225*225}=-0.169696969696 |
| 273 |
|
\end{eqnarray*} |
| 274 |
|
On retrouve exactement la même droite que précédemment $y=-0.1696969696x+58.6181818181$\\ |
| 275 |
|
On peut passer à un autre exemple pour faire passer une courbe de degré $2$ au travers des mêmes points. Dans ce cas la courbe a trois paramètres et s'écrit $y=\beta_0+\beta_1 x+\beta_2 x^2$. |
| 324 |
|
\end{eqnarray*} |
| 325 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 326 |
|
\begin{pmatrix} |
| 327 |
< |
0&25&1000&225&400&625&900&1225&1600&2025\\ |
| 327 |
> |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\ |
| 328 |
|
0&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\ |
| 329 |
< |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1 |
| 329 |
> |
0&25&1000&225&400&625&900&1225&1600&2025\\ |
| 330 |
|
\end{pmatrix} |
| 331 |
|
\begin{pmatrix} |
| 332 |
|
1&0&0\\ |
| 347 |
|
\end{pmatrix} |
| 348 |
|
=\\ |
| 349 |
|
\begin{pmatrix} |
| 350 |
< |
0&25&1000&225&400&625&900&1225&1600&2025\\ |
| 350 |
> |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\ |
| 351 |
|
0&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\ |
| 352 |
< |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1 |
| 352 |
> |
0&25&1000&225&400&625&900&1225&1600&2025\\ |
| 353 |
|
\end{pmatrix} |
| 354 |
|
\begin{pmatrix} |
| 355 |
|
55\\ |
| 694 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 695 |
|
E_n(x_i)=0 |
| 696 |
|
\end{eqnarray*} |
| 697 |
< |
Tout comme l'erreur de la formule de Taylor peut être définie sans être calculée, l'erreur d'interpolation se calcule de la manière suivante |
| 697 |
> |
Tout comme l'erreur de la formule de Taylor peut être définie sans être calculée, l'erreur d'interpolation se calcule de la manière suivante : |
| 698 |
|
\\ Il existe $\zeta (x)\in ]x_0,x_n[$ tel que |
| 699 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 700 |
|
E_n(x)=\frac{f^{(n+1)}\zeta (x)}{(n+1)!}(x-x_0)...(x-x_n) |
| 701 |
|
\end{eqnarray*} |
| 702 |
|
|
| 703 |
|
\begin{itemize} |
| 704 |
< |
\item Tout comme dans la formule d erreur de la formule de Taylor, on sait que $\zeta (x)$ existe mais on ne sait pas le calculer. |
| 704 |
> |
\item Tout comme dans la formule d'erreur de la formule de Taylor, on sait que $\zeta (x)$ existe mais on ne sait pas le calculer. |
| 705 |
|
\item L'erreur est nulle aux points d'interpolation. |
| 706 |
|
\item L'erreur est petite autour des points d'interpolation |
| 707 |
|
\item L'erreur est un polynôme de degré $n+1$. Si $n$ est grand (plus grand que $3$) le polynôme est de degré important et l'erreur oscille beaucoup. L'erreur devient ainsi importante quand le degré est important. Et comme le degré est lié aux nombre de points d'interpolation cette manière d'interpoler est peu intéressante. |
| 767 |
|
\end{itemize} |
| 768 |
|
On obtient ainsi $n-1$ équations pour les $n+1$ coefficients $f''_i$. Pour les deux autres équations on fixe la courbure aux deux extrémités : $f''_0=a$ et $f''_n=b$. |
| 769 |
|
\\Si $a=b=0$ on parle de spline cubique naturelle. |
| 770 |
< |
\\ On aboutit alors au système suivant |
| 771 |
< |
|
| 770 |
> |
\\ On aboutit alors au système suivant \\ |
| 771 |
> |
\begin{encadre2} |
| 772 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 773 |
|
\begin{pmatrix} |
| 774 |
|
1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\ |
| 805 |
|
p_i(x)&=&f_i+f'_i(x-x_i)+\frac{f''_i}{2!}(x-x_i)^2+\frac{f'''_i}{3!}(x-x_i)^3\\ |
| 806 |
|
avec\quad 0 &\le& i \le n-1 |
| 807 |
|
\end{eqnarray*} |
| 808 |
+ |
\end{encadre2} |
| 809 |
|
\\ |
| 810 |
|
\\ |
| 811 |
|
Exemple : interpolation d'une spline cubique naturelle pour les points $(1,1),(2,9),(4,2),(5,11)$ |
| 907 |
|
\subsubsection{Construction} |
| 908 |
|
En CAO, souvent on utilise des splines pour faire passer une courbe par une série de points. Ces courbes ne sont pas de la forme $y=f(x)$ ce qui fait que les méthodes vues ne sont pas directement utilisables. |
| 909 |
|
\\Le problème est de faire passer une courbe par les points $(x_0,y_0,z_0),...,(x_n,y_n,z_n)$. Pour cela, nous allons transformer ce problème en un problème paramétrique, la courbe est définie par un paramètre $t$. |
| 910 |
< |
\\Ainsi les points les points s'écrivent $(x(t_0),y(t_0),z(t_0)),...,(x(t_n),y(t_n),z(t_n))$. On obtient ainsi une courbe paramétrée $C(t)=\overrightarrow{x}[x(t),y(t),z(t)]$ |
| 910 |
> |
\\Ainsi les points s'écrivent $(x(t_0),y(t_0),z(t_0)),...,(x(t_n),y(t_n),z(t_n))$. On obtient ainsi une courbe paramétrée $C(t)=\overrightarrow{x}[x(t),y(t),z(t)]$ |
| 911 |
|
\\ On construit une série de paramètre $t$ appelé vecteur noeud ou ``knot'' et on réalise une interpolation dans chacune des directions de l'espace pour déterminer les interpolations de $x(t),y(t),z(t)$. |
| 912 |
|
\\ Pour la série $t$, on a une infinité de choix. Les plus courant sont \begin{itemize} |
| 913 |
|
\item $t_i=i$. |
| 916 |
|
|
| 917 |
|
Exemple : Tracer la courbe qui passe les points $(1,0)$,$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$,$(0,1)$,$(\frac{-\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$,$(-1,0)$ ,$(\frac{-\sqrt{2}}{2},\frac{-\sqrt{2}}{2})$,$(0.-1)$,$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{-\sqrt{2}}{2})$ et $(1,0)$. |
| 918 |
|
\\ |
| 919 |
< |
\\On construit un vecteur de $t=[0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8]$ et on réalise l'interpolation $x(t)$ et $(y(t)$ pour obtenir la figure suivante |
| 919 |
> |
\\On construit un vecteur de $t=[0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8]$ et on réalise l'interpolation $x(t)$ et $y(t)$ pour obtenir la figure suivante |
| 920 |
|
\begin{center} |
| 921 |
|
\includegraphics[width=12cm,bb=0 0 499 347]{./splineex.jpg} |
| 922 |
|
% splineex.jpg: 665x463 pixel, 96dpi, 17.59x12.25 cm, bb=0 0 499 347 |
| 969 |
|
\begin{encadre}{À retenir} |
| 970 |
|
La compréhension de la différence entre l'approximation et l'interpolation est fondamentale. A partir de cette différence, il est nécessaire d'être capable d'approximer ou d'interpoler une série de points de mesure. |
| 971 |
|
\end{encadre} |
| 972 |
+ |
\\[1cm] |
| 973 |
+ |
\begin{encadre}{Exercices} |
| 974 |
+ |
Exercices 1 à 8 pages 291-292 du livre ($5^{ème}$ edition)\\ |
| 975 |
+ |
Exercice 13 page 293 du livre ($5^{ème}$ edition)\\ |
| 976 |
+ |
Exercice 26 page 296 du livre ($5^{ème}$ edition)\\ |
| 977 |
+ |
\end{encadre} |
