| 175 |
|
\beta_0+20\beta_1=55\\ |
| 176 |
|
\beta_0+25\beta_1=60\\ |
| 177 |
|
\beta_0+30\beta_1=54\\ |
| 178 |
< |
\beta_0+35\beta_1=57\\ |
| 178 |
> |
\beta_0+35\beta_1=51\\ |
| 179 |
|
\beta_0+40\beta_1=52\\ |
| 180 |
|
\beta_0+45\beta_1=49\\ |
| 181 |
|
\end{array} |
| 208 |
|
55\\ |
| 209 |
|
60\\ |
| 210 |
|
54\\ |
| 211 |
< |
57\\ |
| 211 |
> |
51\\ |
| 212 |
|
52\\ |
| 213 |
|
49\\ |
| 214 |
|
\end{pmatrix} |
| 215 |
|
\end{eqnarray*} |
| 216 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 217 |
|
\begin{pmatrix} |
| 218 |
+ |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\ |
| 219 |
|
0&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\ |
| 219 |
– |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1 |
| 220 |
|
\end{pmatrix} |
| 221 |
|
\begin{pmatrix} |
| 222 |
|
1&0\\ |
| 236 |
|
\end{pmatrix} |
| 237 |
|
=\\ |
| 238 |
|
\begin{pmatrix} |
| 239 |
+ |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\ |
| 240 |
|
0&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\ |
| 240 |
– |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1 |
| 241 |
|
\end{pmatrix} |
| 242 |
|
\begin{pmatrix} |
| 243 |
|
55\\ |
| 247 |
|
55\\ |
| 248 |
|
60\\ |
| 249 |
|
54\\ |
| 250 |
< |
57\\ |
| 250 |
> |
51\\ |
| 251 |
|
52\\ |
| 252 |
|
49\\ |
| 253 |
|
\end{pmatrix} |
| 254 |
|
\end{eqnarray*} |
| 255 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 256 |
|
\begin{pmatrix} |
| 257 |
– |
225&7125\\ |
| 257 |
|
10&225\\ |
| 258 |
+ |
225&7125\\ |
| 259 |
|
\end{pmatrix} |
| 260 |
|
\begin{pmatrix} |
| 261 |
|
\beta_0\\ |
| 263 |
|
\end{pmatrix} |
| 264 |
|
= |
| 265 |
|
\begin{pmatrix} |
| 266 |
< |
11980\\548\\ |
| 266 |
> |
548\\ |
| 267 |
> |
11980\\ |
| 268 |
|
\end{pmatrix} |
| 269 |
|
\end{eqnarray*} |
| 270 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 271 |
< |
\beta_0=\frac{11980*225-7125*548}{225*225-10*7125}=58.61818181\\ |
| 272 |
< |
\beta_1=\frac{225*548-11980*10}{225*225-10*7125}=-0.169696969696 |
| 271 |
> |
\beta_0=\frac{7125*548-11980*225}{10*7125-225*225}=58.61818181\\ |
| 272 |
> |
\beta_1=\frac{11980*10-225*548}{10*7125-225*225}=-0.169696969696 |
| 273 |
|
\end{eqnarray*} |
| 274 |
|
On retrouve exactement la même droite que précédemment $y=-0.1696969696x+58.6181818181$\\ |
| 275 |
|
On peut passer à un autre exemple pour faire passer une courbe de degré $2$ au travers des mêmes points. Dans ce cas la courbe a trois paramètres et s'écrit $y=\beta_0+\beta_1 x+\beta_2 x^2$. |
| 324 |
|
\end{eqnarray*} |
| 325 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 326 |
|
\begin{pmatrix} |
| 327 |
< |
0&25&1000&225&400&625&900&1225&1600&2025\\ |
| 327 |
> |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\ |
| 328 |
|
0&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\ |
| 329 |
< |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1 |
| 329 |
> |
0&25&1000&225&400&625&900&1225&1600&2025\\ |
| 330 |
|
\end{pmatrix} |
| 331 |
|
\begin{pmatrix} |
| 332 |
|
1&0&0\\ |
| 347 |
|
\end{pmatrix} |
| 348 |
|
=\\ |
| 349 |
|
\begin{pmatrix} |
| 350 |
< |
0&25&1000&225&400&625&900&1225&1600&2025\\ |
| 350 |
> |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\ |
| 351 |
|
0&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\ |
| 352 |
< |
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1 |
| 352 |
> |
0&25&1000&225&400&625&900&1225&1600&2025\\ |
| 353 |
|
\end{pmatrix} |
| 354 |
|
\begin{pmatrix} |
| 355 |
|
55\\ |
| 622 |
|
On pose $f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}$ d'où $a_1=f[x_0,x_1]$\\ |
| 623 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 624 |
|
P_n(x_2)&=&a_0+a_1(x_2-x_0)+a_2(x_2-x_0)(x_2-x_1)=y_2\\ |
| 625 |
< |
& &f(x_0)+f[x_1,x_0](x_2-x_0)+a_2(x_2-x_0)(x_2-x_1)=f(x_2)\\ |
| 626 |
< |
a_2&=&\frac{1}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\left(f(x_2)-f(x_0)-(x_2-x_0)\right)f[x_0,x_1]\\ |
| 625 |
> |
& &f(x_0)+f[x_0,x_1](x_2-x_0)+a_2(x_2-x_0)(x_2-x_1)=f(x_2)\\ |
| 626 |
> |
a_2&=&\frac{1}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\left(f(x_2)-f(x_0)-(x_2-x_0)f[x_0,x_1]\right)\\ |
| 627 |
|
&=&\frac{1}{x_2-x_0}\left(\frac{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_1}-\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f[x_0,x_1]\right)\\ |
| 628 |
|
&=&\frac{1}{x_2-x_0}\left(\frac{f(x_2)-f(x_1)+f(x_1)-f(x_0)}{x_2-x_1}-\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f[x_0,x_1]\right)\\ |
| 629 |
|
&=&\frac{1}{x_2-x_0}\left(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\frac{x_1-x_0}{x_2-x_1}-\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f[x_0,x_1]\right)\\ |
| 767 |
|
\end{itemize} |
| 768 |
|
On obtient ainsi $n-1$ équations pour les $n+1$ coefficients $f''_i$. Pour les deux autres équations on fixe la courbure aux deux extrémités : $f''_0=a$ et $f''_n=b$. |
| 769 |
|
\\Si $a=b=0$ on parle de spline cubique naturelle. |
| 770 |
< |
\\ On aboutit alors au système suivant |
| 771 |
< |
|
| 770 |
> |
\\ On aboutit alors au système suivant \\ |
| 771 |
> |
\begin{encadre2} |
| 772 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 773 |
|
\begin{pmatrix} |
| 774 |
|
1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\ |
| 805 |
|
p_i(x)&=&f_i+f'_i(x-x_i)+\frac{f''_i}{2!}(x-x_i)^2+\frac{f'''_i}{3!}(x-x_i)^3\\ |
| 806 |
|
avec\quad 0 &\le& i \le n-1 |
| 807 |
|
\end{eqnarray*} |
| 808 |
+ |
\end{encadre2} |
| 809 |
|
\\ |
| 810 |
|
\\ |
| 811 |
|
Exemple : interpolation d'une spline cubique naturelle pour les points $(1,1),(2,9),(4,2),(5,11)$ |
| 968 |
|
\end{center} |
| 969 |
|
\begin{encadre}{À retenir} |
| 970 |
|
La compréhension de la différence entre l'approximation et l'interpolation est fondamentale. A partir de cette différence, il est nécessaire d'être capable d'approximer ou d'interpoler une série de points de mesure. |
| 971 |
< |
\end{encadre} |
| 971 |
> |
\end{encadre} |
