| 1 |
\begin{encadre}{Objectif du chapitre} |
| 2 |
Plusieurs problèmes d'ingénierie mélangent dans la modélisation des inconnues qui sont des dérivées les unes des autres. (Cas de la position, vitesse et accélération). Dans ces cas, nous avons des équations avec comme inconnue une variable, sa dérivée première, deuxième..... . |
| 3 |
Ce sont des équations différentielles. Au niveau théorique, seuls quelques rares cas sont solvables. Ce chapitre montre des manières de résoudre toute les équations différentielles de manière numérique. |
| 4 |
\end{encadre} |
| 5 |
\\[1cm] |
| 6 |
\begin{encadre}{Connaissances antérieures nécessaires} |
| 7 |
\begin{itemize} |
| 8 |
\item les mathématiques : équations différentielles du premier ordre et d'ordre supérieur. Système d'équations différentielles. Conditions aux limites. Conditions aux frontières. |
| 9 |
\item programmation de base en Basic ou C : les types, les opérations élémentaires et la structuration de programme en mode console |
| 10 |
\end{itemize} |
| 11 |
|
| 12 |
\end{encadre} |
| 13 |
|
| 14 |
|
| 15 |
|
| 16 |
|
| 17 |
\section{Mise en situation} |
| 18 |
Le problème du pendule est le problème de base pour illustrer les équations différentielles. |
| 19 |
Soit une masse $m$ suspendue à une corde de longueur $l$. Au temps $t=0$, la corde a une position qui fait un angle $\theta (0)=\theta_0$ avec la verticale. |
| 20 |
Les forces en présence sont le poids de la masse $m$ et la force de friction $F_f$ qui s'oppose au mouvement. |
| 21 |
\begin{figure}[h] |
| 22 |
|
| 23 |
\begin{center} |
| 24 |
\includegraphics[width=4cm,bb=0 0 143 257]{./pendule.jpg} |
| 25 |
% pendule.jpg: 190x342 pixel, 96dpi, 5.03x9.05 cm, bb=0 0 143 257 |
| 26 |
\end{center} |
| 27 |
\caption{Problème du pendule} |
| 28 |
\end{figure} |
| 29 |
\\En faisant l'équilibre selon la direction tangentielle, il vient que |
| 30 |
\begin{eqnarray*} |
| 31 |
\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{\gamma}\\ |
| 32 |
-P\sin \theta -F_fl\theta'=ml\theta''\\ |
| 33 |
\theta''=\frac{-g\sin \theta}{l} +\frac{-F_f\theta'}{m}\\ |
| 34 |
\end{eqnarray*} |
| 35 |
On a dans ce cas une équation différentielle d'ordre 2 avec conditions initiales connues : |
| 36 |
\begin{eqnarray*} |
| 37 |
\left \{ |
| 38 |
\begin{array}{l} |
| 39 |
\theta''=\frac{-g\sin \theta}{l} +\frac{-F_f\theta'}{m}\\ |
| 40 |
\theta(0)=\theta_0\\ |
| 41 |
\theta'(0)=\theta_0'\\ |
| 42 |
\end{array} |
| 43 |
\right. |
| 44 |
\end{eqnarray*} |
| 45 |
L'objectif de ce chapitre est de résoudre de telle équation de manière numérique. Nous commençons par les équations différentielles d'ordre 1 pour généraliser ensuite. |
| 46 |
\section{Résolution d'équation différentielle d'ordre 1} |
| 47 |
\subsection{Méthode d'Euler explicite} |
| 48 |
\subsubsection{La méthode} |
| 49 |
D'une manière générale, le problème s'écrit |
| 50 |
\begin{eqnarray*} |
| 51 |
\left \{ |
| 52 |
\begin{array}{l} |
| 53 |
y'(x)=f\left(x,y(x)\right)\\ |
| 54 |
y(0)=y_0\\ |
| 55 |
\end{array} |
| 56 |
\right. |
| 57 |
\end{eqnarray*} |
| 58 |
|
| 59 |
L'idée est de partir de la condition initiale est de trouver une solution proche d'un pas $h$. |
| 60 |
\\Tout au long de ce chapitre, on note $y_t$ la valeur numérique et $y(t)$ la valeur réelle de la solution. |
| 61 |
\\Au départ on $y_0=y(0)$. |
| 62 |
\\ En constatant que la pente de la courbe en $0$ est $y'(0)=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$ il vient que |
| 63 |
\begin{eqnarray*} |
| 64 |
y_1-y_0&=&y'(0)(x_1-x_0)\\ |
| 65 |
y_1&=&y_0+hy'(0)\\ |
| 66 |
y_1&=&y_0+hf\left(0,y(0)\right)\\ |
| 67 |
y_1&=&y_0+hf(0,y_0)\\ |
| 68 |
\end{eqnarray*} |
| 69 |
$y_1$ est une solution approchée de $y(x_1)$. |
| 70 |
On continue ensuite selon le schéma |
| 71 |
\begin{eqnarray*} |
| 72 |
y_n&=&y_{n-1}+hf(x_{n-1},y_{n-1})\\ |
| 73 |
\end{eqnarray*} |
| 74 |
$y_n$ est une solution approchée de $y(x_n)$. |
| 75 |
|
| 76 |
\subsubsection{Exemple} |
| 77 |
Soit l'équation différentielle d'ordre 1 suivante |
| 78 |
|
| 79 |
\begin{eqnarray*} |
| 80 |
\left \{ |
| 81 |
\begin{array}{l} |
| 82 |
y'(x)=-y(x)+x+1\\ |
| 83 |
y(0)=1\\ |
| 84 |
\end{array} |
| 85 |
\right. |
| 86 |
\end{eqnarray*} |
| 87 |
La solution exacte est $y(x)=e^{-x}+x$ |
| 88 |
\\La solution numérique est calculée avec $h=0.1$ :\\ |
| 89 |
\footnotesize |
| 90 |
\begin{tabular}{|r|r|r|r|} |
| 91 |
\hline |
| 92 |
$x_i$ & $y_i=y_{i-1}+hf(x_{i-1},y_{i-1})$ &$e^{-x}+x$ & $\frac{y_i-y(x_i)}{y(x_i)}$ \\ |
| 93 |
\hline |
| 94 |
$0$&$ 1$&$ 1$&$ 0$\\ \hdashline |
| 95 |
$0,1$&$ 1$&$ 1,004837418$&$ 0,0048141301$ \\ |
| 96 |
$0,2$&$ 1,01$&$ 1,0187307531$&$ 0,0085702263$ \\ |
| 97 |
$0,3$&$ 1,029$&$ 1,0408182207$&$ 0,0113547404$ \\ |
| 98 |
$0,4$&$ 1,0561$&$ 1,070320046$&$ 0,0132857888$ \\ |
| 99 |
$0,5$&$ 1,09049$&$ 1,1065306597$&$ 0,0144963536$ \\ |
| 100 |
$0,6$&$ 1,131441$&$ 1,1488116361$&$ 0,0151205259$ \\ |
| 101 |
$0,7$&$ 1,1782969$&$ 1,1965853038$&$ 0,0152838279$ \\ |
| 102 |
$0,8$&$ 1,23046721$&$ 1,2493289641$&$ 0,0150975081$ \\ |
| 103 |
$0,9$&$ 1,287420489$&$ 1,3065696597$&$ 0,0146560657$ \\ |
| 104 |
$1$&$ 1,3486784401$&$ 1,3678794412$&$ 0,0140370566$ \\ |
| 105 |
$1,1$&$ 1,4138105961$&$ 1,4328710837$&$ 0,0133023046$ \\ |
| 106 |
$1,2$&$ 1,4824295365$&$ 1,5011942119$&$ 0,012499832$ \\ |
| 107 |
$1,3$&$ 1,5541865828$&$ 1,572531793$&$ 0,0116660345$ \\ |
| 108 |
$1,4$&$ 1,6287679245$&$ 1,6465969639$&$ 0,0108278102$ \\ |
| 109 |
$1,5$&$ 1,7058911321$&$ 1,7231301601$&$ 0,010004484$ \\ |
| 110 |
$1,6$&$ 1,7853020189$&$ 1,801896518$&$ 0,0092094629$ \\ |
| 111 |
$1,7$&$ 1,866771817$&$ 1,8826835241$&$ 0,0084516101$ \\ |
| 112 |
$1,8$&$ 1,9500946353$&$ 1,9652988882$&$ 0,0077363565$ \\ |
| 113 |
$1,9$&$ 2,0350851718$&$ 2,0495686192$&$ 0,0070665833$ \\ |
| 114 |
$2$&$ 2,1215766546$&$ 2,1353352832$&$ 0,0064433107$ \\ |
| 115 |
$2,1$&$ 2,2094189891$&$ 2,2224564283$&$ 0,0058662293$ \\ |
| 116 |
$2,2$&$ 2,2984770902$&$ 2,3108031584$&$ 0,0053341056$ \\ |
| 117 |
$2,3$&$ 2,3886293812$&$ 2,4002588437$&$ 0,0048450868$ \\ |
| 118 |
$2,4$&$ 2,4797664431$&$ 2,4907179533$&$ 0,0043969291$ \\ |
| 119 |
$2,5$&$ 2,5717897988$&$ 2,5820849986$&$ 0,0039871654$ \\ |
| 120 |
$2,6$&$ 2,6646108189$&$ 2,6742735782$&$ 0,0036132277$ \\ |
| 121 |
$2,7$&$ 2,758149737$&$ 2,7672055127$&$ 0,0032725346$ \\ |
| 122 |
$2,8$&$ 2,8523347633$&$ 2,8608100626$&$ 0,0029625523$ \\ |
| 123 |
$2,9$&$ 2,947101287$&$ 2,9550232201$&$ 0,0026808362$ \\ |
| 124 |
$3 $&$ 3,0423911583$&$ 3,0497870684$&$ 0,0024250579$ \\ |
| 125 |
|
| 126 |
\hline |
| 127 |
\end{tabular} |
| 128 |
\normalsize |
| 129 |
\begin{center} |
| 130 |
\includegraphics[width=10cm,bb=0 0 611 400]{./eulerexplicite.jpg} |
| 131 |
% eulerexplicite.jpg: 815x533 pixel, 96dpi, 21.56x14.10 cm, bb=0 0 611 400 |
| 132 |
\end{center} |
| 133 |
|
| 134 |
\subsubsection{Erreur de la méthode} |
| 135 |
Dans les résultats précédents nous avons montré l'erreur sur la valeur de $y_i$. Dans ce cas cette erreur est cumulée puisque $y_i$ est réutilisée dans les pas suivants. |
| 136 |
\\Nous allons chercher à trouver l'erreur d'un pas de manière indépendante des pas précédents. |
| 137 |
Pour cela nous allons utiliser le développement en série de Taylor de $y(x_{n+1})$ : |
| 138 |
\begin{eqnarray*} |
| 139 |
y(x_{n+1})=y(x_n+h)&=&y(x_n)+y'(x_n)h+\frac{y''(x_n)}{2!}h^2+O(h^3)\\ |
| 140 |
&=&y(x_n)+f(x_n,y(x_n))h+\frac{y''(x_n)}{2}h^2+O(h^3)\\ |
| 141 |
\frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h}-f(x_n,y(x_n))&=&\frac{y''(x_n)}{2}h+O(h^2)\\ |
| 142 |
\end{eqnarray*} |
| 143 |
On appelle l'erreur de troncature d'un pas de la méthode d'Euler explicite $\tau_{n+1}(h)$. |
| 144 |
\begin{eqnarray*} |
| 145 |
\tau_{n+1}(h)=\frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h}-f(x_n,y(x_n))&=&\frac{y''(x_n)}{2}h+O(h^2)\\ |
| 146 |
\end{eqnarray*} |
| 147 |
On constate que le méthode a une convergence d'ordre 1. |
| 148 |
\subsection{Méthode de Taylor} |
| 149 |
\subsubsection{La méthode} |
| 150 |
La méthode de Taylor est la généralisation de la méthode d'Euler explicite pour tenter d'obtenir une méthode d'ordre de convergence plus élevée. |
| 151 |
\\On part du développement de Taylor |
| 152 |
\begin{eqnarray*} |
| 153 |
y(x_{n+1})=y(x_n+h)&=&y(x_n)+y'(x_n)h+\frac{y''(x_n)}{2!}h^2+O(h^3)\\ |
| 154 |
\end{eqnarray*} |
| 155 |
En injectant l'équation différentielle et en écrivant que |
| 156 |
\begin{eqnarray*} |
| 157 |
f'(x_n,y(x_n))&=&\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}y'\\ |
| 158 |
&=&\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}f\\ |
| 159 |
\end{eqnarray*} |
| 160 |
On a |
| 161 |
\begin{eqnarray*} |
| 162 |
y(x_{n+1})&=&y(x_n)+f(x_n,y(x_n))h+\frac{h^2}{2}f'(x_n,(y(x_n))+O(h^3)\\ |
| 163 |
&=&y(x_n)+f(x_n,y(x_n))h+\frac{h^2}{2}\left(\frac{\partial f(x_n,y(x_n))}{\partial x}+\frac{\partial f(x_n,y(x_n))}{\partial y}f(x_n,y(x_n))\right)+O(h^3)\\ |
| 164 |
\end{eqnarray*} |
| 165 |
On en déduit que |
| 166 |
\begin{eqnarray*} |
| 167 |
y_{n+1}&=&y_n+hf(x_n,y_n)+\frac{h^2}{2}\left(\frac{\partial f(x_n,y_n)}{\partial x}+\frac{\partial f(x_n,y_n)}{\partial y}f(x_n,y_n)\right)+O(h^3)\\ |
| 168 |
\tau_{n+1}(h)&=&\frac{y_{n+1}-y_n}{h}-f(x_n,y(x_n))-\frac{h}{2}\left(\frac{\partial f(x_n,y(x_n))}{\partial x}+\frac{\partial f(x_n,y(x_n))}{\partial y}f(x_n,y(x_n))\right)=O(h^2) |
| 169 |
\end{eqnarray*} |
| 170 |
L'ordre de convergence de la méthode est 2 mais la méthode nécessite le calcul des dérivée de $f$. |
| 171 |
\subsubsection{Exemple} |
| 172 |
On reprend le même exemple que lors de la méthode d'Euler explicite et on trouve \\ |
| 173 |
\footnotesize |
| 174 |
\begin{tabular}{|r|r|r|r|} |
| 175 |
\hline |
| 176 |
$x_i$ & $y_i=y_{i-1}+hf(x_{i-1},y_{i-1})$ &$e^{-x}+x$ & $\frac{y_i-y(x_i)}{y(x_i)}$ \\ |
| 177 |
& $+\frac{h^2}{2}\left(\frac{\partial f(x_{i-1},y_{i-1})}{\partial x}+\frac{\partial f(x_{i-1},y_{i-1})}{\partial y}f(x_{i-1},y_{i-1})\right)$ & & \\ |
| 178 |
\hline |
| 179 |
|
| 180 |
|
| 181 |
$0$&$ 1$&$ 1$&$ 0$\\ \hdashline |
| 182 |
$0,1$&$ 1,005$&$ 1,004837418$&$ 0,0001617993$\\ |
| 183 |
$0,2$&$ 1,019025$&$1,018730753 $&$ 0,0002888368$\\ |
| 184 |
$0,3$&$ 1,041217625$&$1,040818221 $&$ 0,0003837407$\\ |
| 185 |
$0,4$&$ 1,0708019506$&$1,070320046 $&$ 0,0004502434$\\ |
| 186 |
$0,5$&$ 1,1070757653$&$1,10653066 $&$ 0,0004926258$\\ |
| 187 |
$0,6$&$ 1,1494035676$&$1,148811636 $&$ 0,0005152555$\\ |
| 188 |
$0,7$&$ 1,1972102287$&$1,196585304 $&$ 0,0005222569$\\ |
| 189 |
$0,8$&$ 1,249975257$&$1,249328964 $&$ 0,000517312$\\ |
| 190 |
$0,9$&$ 1,3072276076$&$1,30656966 $&$ 0,0005035689$\\ |
| 191 |
$1$&$ 1,3685409848$&$1,367879441 $&$ 0,0004836272$\\ |
| 192 |
$1,1$&$ 1,4335295913$&$1,432871084 $&$ 0,0004595721$\\ |
| 193 |
$1,2$&$ 1,5018442801$&$1,501194212 $&$ 0,000433034$\\ |
| 194 |
$1,3$&$ 1,5731690735$&$1,572531793 $&$ 0,0004052576$\\ |
| 195 |
$1,4$&$ 1,6472180115$&$1,646596964 $&$ 0,0003771704$\\ |
| 196 |
$1,5$&$ 1,7237323004$&$1,72313016 $&$ 0,0003494456$\\ |
| 197 |
$1,6$&$ 1,8024777319$&$1,801896518 $&$ 0,0003225567$\\ |
| 198 |
$1,7$&$ 1,8832423473$&$1,882683524$&$ 0,0002968227$\\ |
| 199 |
$1,8$&$ 1,9658343244$&$1,965298888 $&$ 0,0002724451$\\ |
| 200 |
$1,9$&$ 2,0500800635$&$2,049568619 $&$ 0,0002495375$\\ |
| 201 |
$2$&$ 2,1358224575$&$2,135335283 $&$ 0,0002281488$\\ |
| 202 |
$2,1$&$ 2,222919324$&$2,222456428 $&$ 0,0002082812$\\ |
| 203 |
$2,2$&$ 2,3112419883$&$2,310803158 $&$ 0,0001899036$\\ |
| 204 |
$2,3$&$ 2,4006739994$&$ 2,400258844$&$ 0,0001729629$\\ |
| 205 |
$2,4$&$ 2,4911099694$&$2,490717953 $&$ 0,0001573908$\\ |
| 206 |
$2,5$&$ 2,5824545223$&$2,582084999 $&$ 0,0001431106$\\ |
| 207 |
$2,6$&$ 2,6746213427$&$2,674273578 $&$ 0,0001300407$\\ |
| 208 |
$2,7$&$ 2,7675323152$&$2,767205513 $&$ 0,0001180984$\\ |
| 209 |
$2,8$&$ 2,8611167452$&$2,860810063 $&$ 0,0001072013$\\ |
| 210 |
$2,9$&$ 2,9553106544$&$2,95502322 $&$ 9,72697479658594E-005$\\ |
| 211 |
$3$&$ 3,0500561423$&$ 3,0497870684$&$ 8,82271045273683E-005$\\ |
| 212 |
|
| 213 |
\hline |
| 214 |
\end{tabular} |
| 215 |
\normalsize |
| 216 |
|
| 217 |
\begin{center} |
| 218 |
\includegraphics[width=10cm,bb=0 0 614 399]{./taylor.jpg} |
| 219 |
% taylor.jpg: 818x532 pixel, 96dpi, 21.64x14.08 cm, bb=0 0 614 399 |
| 220 |
\end{center} |
| 221 |
|
| 222 |
\subsection{Méthodes de Runge-Kutta} |
| 223 |
\subsubsection{Méthode de Runge-Kutta d'ordre 2 : RK2} |
| 224 |
L'idée est de retrouver la méthode de Taylor en s'affranchissant du calcul des dérivée de $f$. |
| 225 |
La méthode de Taylor est basé sur le développement de Taylor. |
| 226 |
\begin{eqnarray*} |
| 227 |
y(x_{n+1})&=&y(x_n)+f(x_n,y(x_n))h+\frac{h^2}{2}\left(\frac{\partial f(x_n,y(x_n))}{\partial x}+\frac{\partial f(x_n,y(x_n))}{\partial y}f(x_n,y(x_n))\right)+O(h^3)\\ |
| 228 |
\end{eqnarray*} |
| 229 |
Pour éviter d'avoir des dérivées à calculer, on voudrait remplacer cette expression par |
| 230 |
\begin{eqnarray*} |
| 231 |
y(x_{n+1})&=&y(x_n)+a_1hf(x_n,y(x_n))+a_2hf(x_n+a_3h,y(x_n)+a_4h)+O(h^3)\\ |
| 232 |
\end{eqnarray*} |
| 233 |
On développe en série de Taylor $f(x_n+a_3h,y(x_n)+a_4h)$ |
| 234 |
\begin{eqnarray*} |
| 235 |
f(x_n+a_3h,y(x_n)+a_4h)=f(x_n,y(x_n))+a_3h\frac{\partial f(x_n,y(x_n))}{\partial x}+a_4h\frac{\partial f(x_n,y(x_n))}{\partial y}+O(h^2)\\ |
| 236 |
\end{eqnarray*} |
| 237 |
En regroupant les deux dernières équations on a |
| 238 |
\begin{eqnarray*} |
| 239 |
y(x_{n+1})&=&y(x_n)+a_1hf(x_n,y(x_n))+a_2hf(x_n,y(x_n)+a_2a_3h^2\frac{\partial f(x_n,y(x_n))}{\partial x}\\& &+a_2a_4h^2\frac{\partial f(x_n,y(x_n))}{\partial y}+O(h^3)\\ |
| 240 |
&=&y(x_n)+h(a_1+a_2)f(x_n,y(x_n))+a_2a_3h^2\frac{\partial f(x_n,y(x_n))}{\partial x}+a_2a_4h^2\frac{\partial f(x_n,y(x_n))}{\partial y}+O(h^3) |
| 241 |
\end{eqnarray*} |
| 242 |
En identifiant cette dernière relation avec la série de Taylor, on obtient le système |
| 243 |
\begin{eqnarray*} |
| 244 |
\left \{ |
| 245 |
\begin{array}{l} |
| 246 |
a_1+a_2=1\\ |
| 247 |
a_2a_3=\frac{1}{2}\\ |
| 248 |
a_2a_4=\frac{f(x_n,y(x_n))}{2}\\ |
| 249 |
\end{array} |
| 250 |
\right. |
| 251 |
\end{eqnarray*} |
| 252 |
On a un système à 3 équations et 4 équations. Il y a donc plusieurs solutions. |
| 253 |
Si on prend comme solution $a_1=a_2=\frac{1}{2}$, $a_3=1$ et $a_4=f(x_n,y(x_n))$ on obtient la méthode d'Euler modifiée : |
| 254 |
\begin{eqnarray*} |
| 255 |
y_{n+1}&=&y_n+\frac{h}{2}f(x_n,y_n)+\frac{h}{2}f(x_n+h,y_n+hf(x_n,y_n)) |
| 256 |
\end{eqnarray*} |
| 257 |
Soit $\widehat{y}=hf(x_n,y_n)$ alors la dernière équation devient |
| 258 |
\begin{eqnarray*} |
| 259 |
\left \{ |
| 260 |
\begin{array}{l} |
| 261 |
\widehat{y}=y_n+hf(x_n,y_n)\\ |
| 262 |
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}f(x_n,y_n)+\frac{h}{2}f(x_n+h,\widehat{y})\end{array} |
| 263 |
\right. |
| 264 |
\end{eqnarray*} |
| 265 |
Le calcul de $\widehat{y}$ correspond au calcul de la méthode d'Euler explicite. En fait, cette méthode consiste à faire une prédiction avec la méthode d'Euler explicite et de corriger cette prédiction par la deuxième formule. |
| 266 |
On parle de méthode de prédiction-correction. |
| 267 |
|
| 268 |
\subsubsection{Exemple de RK2} |
| 269 |
On reprend le même exemple que lors de la méthode d'Euler explicite et on trouve \\ |
| 270 |
\footnotesize |
| 271 |
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|} |
| 272 |
\hline |
| 273 |
$x_i$ & $\widehat{y}=y_n+hf(x_{i-1},y_{i-1})$& $y_i=y_{i-1}+\frac{h}{2}f(x_{i-1},y_{i-1})$ & $e^{-x}+x$ & $\frac{y_i-y(x_i)}{y(x_i)}$ \\ |
| 274 |
& & $+\frac{h}{2}f(x_{i-1}+h,\widehat{y}) $ & & \\ |
| 275 |
\hline |
| 276 |
|
| 277 |
$0$&&$1$& $1$&$ 0$\\ \hdashline |
| 278 |
$0,1$&$1$&$ 1,005$& $1,004837418$&$0,0001617993$\\ |
| 279 |
$0,2$&$ 1,0145 $&$ 1,019025$&$ 1,0187307531$&$ 0,0002888368$\\ |
| 280 |
$0,3$&$ 1,0371225$&$ 1,041217625$&$ 1,0408182207$&$ 0,0003837407$\\ |
| 281 |
$0,4$&$ 1,0670958625$&$ 1,0708019506$&$ 1,070320046$&$ 0,0004502434$\\ |
| 282 |
$0,5$&$ 1,1037217556$&$ 1,1070757653$&$ 1,1065306597$&$ 0,0004926258$\\ |
| 283 |
$0,6$&$ 1,1463681888$&$ 1,1494035676$&$ 1,1488116361$&$ 0,0005152555$\\ |
| 284 |
$0,7$&$ 1,1944632108$&$ 1,1972102287$&$ 1,1965853038$&$ 0,0005222569$\\ |
| 285 |
$0,8$&$ 1,2474892058$&$ 1,249975257$&$ 1,2493289641$&$ 0,000517312$\\ |
| 286 |
$0,9$&$ 1,3049777313$&$ 1,3072276076$&$ 1,3065696597$&$ 0,0005035689$\\ |
| 287 |
$1$&$ 1,3665048468$&$ 1,3685409848$&$ 1,3678794412$&$ 0,0004836272$\\ |
| 288 |
$1,1$&$ 1,4316868864$&$ 1,4335295913$&$ 1,4328710837$&$ 0,0004595721$\\ |
| 289 |
$1,2$&$ 1,5001766321$&$ 1,5018442801$&$ 1,5011942119$&$ 0,000433034$\\ |
| 290 |
$1,3$&$ 1,5716598521$&$ 1,5731690735$&$ 1,572531793$&$ 0,0004052576$\\ |
| 291 |
$1,4$&$ 1,6458521661$&$ 1,6472180115$&$ 1,6465969639$&$ 0,0003771704$\\ |
| 292 |
$1,5$&$ 1,7224962104$&$ 1,7237323004$&$ 1,7231301601$&$ 0,0003494456$\\ |
| 293 |
$1,6$&$ 1,8013590704$&$ 1,8024777319$&$ 1,801896518$&$ 0,0003225567$\\ |
| 294 |
$1,7$&$ 1,8822299587$&$ 1,8832423473$&$ 1,8826835241$&$ 0,0002968227$\\ |
| 295 |
$1,8$&$ 1,9649181126$&$ 1,9658343244$&$ 1,9652988882$&$ 0,0002724451$\\ |
| 296 |
$1,9$&$ 2,0492508919$&$ 2,0500800635$&$ 2,0495686192$&$ 0,0002495375$\\ |
| 297 |
$2$&$ 2,1350720572$&$ 2,1358224575$&$ 2,1353352832$&$ 0,0002281488$\\ |
| 298 |
$2,1$&$ 2,2222402118$&$ 2,222919324$&$ 2,2224564283$&$ 0,0002082812$\\ |
| 299 |
$2,2$&$ 2,3106273916$&$ 2,3112419883$&$ 2,3108031584$&$ 0,0001899036$\\ |
| 300 |
$2,3$&$ 2,4001177894$&$ 2,4006739994$&$ 2,4002588437$&$ 0,0001729629$\\ |
| 301 |
$2,4$&$ 2,4906065994$&$ 2,4911099694$&$ 2,4907179533$&$ 0,0001573908$\\ |
| 302 |
$2,5$&$ 2,5819989725$&$ 2,5824545223$&$ 2,5820849986$&$ 0,0001431106$\\ |
| 303 |
$2,6$&$ 2,6742090701$&$ 2,6746213427$&$ 2,6742735782$&$ 0,0001300407$\\ |
| 304 |
$2,7$&$ 2,7671592084$&$ 2,7675323152$&$ 2,7672055127$&$ 0,0001180984$\\ |
| 305 |
$2,8$&$ 2,8607790836$&$ 2,8611167452$&$ 2,8608100626$&$ 0,0001072013$\\ |
| 306 |
$2,9$&$ 2,9550050707$&$ 2,9553106544$&$ 2,9550232201$&$ 9,7269E-005$\\ |
| 307 |
$3$&$ 3,049779589$&$ 3,0500561423$&$ 3,0497870684$&$ 8,8227E-005$\\ |
| 308 |
|
| 309 |
\hline |
| 310 |
\end{tabular} |
| 311 |
\normalsize |
| 312 |
\subsubsection{Méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 : RK4} |
| 313 |
En reprenant la même méthodologie que pour RK2 et en utilisant une série de Taylor de l'ordre 5 on obtient un système de 8 équations à 10 inconnues. |
| 314 |
On obtient ainsi une méthode de RK4 : |
| 315 |
\begin{eqnarray*} |
| 316 |
\left \{ |
| 317 |
\begin{array}{l} |
| 318 |
k_1=hf(x_n,y_n)\\ |
| 319 |
k_2=hf(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_1}{2})\\ |
| 320 |
k_3=hf(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_2}{2})\\ |
| 321 |
k_4=hf(x_n+h,y_n+k_3)\\ |
| 322 |
y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\\ |
| 323 |
\end{array} |
| 324 |
\right. |
| 325 |
\end{eqnarray*} |
| 326 |
et on obtient le résultat suivant sur le même exemple que précédemment \\ \\ |
| 327 |
\scriptsize |
| 328 |
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|} |
| 329 |
\hline |
| 330 |
$x_i$ & $k_1$ & $k_2$ & $k_3$ & $k_4$ & $y_i$ & $y(x_i)$ & $\frac{y_i-y(x_i)}{y(x_i)}$ \\ |
| 331 |
\hline |
| 332 |
|
| 333 |
$0$&&&&&$1$&$1$&$0$\\ \hdashline |
| 334 |
$0,1$&$ 0$&$ 0,005$&$ 0,00475$&$ 0,009525$&$ 1,0048375$&$ 1,004837418$&$ 8,1569E-008$\\ |
| 335 |
$0,2$&$ 0,00951625$&$ 0,0140404375$&$ 0,0138142281$&$ 0,0181348272$&$ 1,0187309014$&$ 1,0187307531$&$ 1,4560E-007$\\ |
| 336 |
$0,3$&$ 0,0181269099$&$ 0,0222205644$&$ 0,0220158816$&$ 0,0259253217$&$ 1,040818422$&$ 1,0408182207$&$ 1,9343E-007$\\ |
| 337 |
$0,4$&$ 0,0259181578$&$ 0,0296222499$&$ 0,0294370453$&$ 0,0329744533$&$ 1,0703202889$&$ 1,070320046$&$ 2,2692E-007$\\ |
| 338 |
$0,5$&$ 0,0329679711$&$ 0,0363195726$&$ 0,0361519925$&$ 0,0393527719$&$ 1,1065309344$&$ 1,1065306597$&$ 2,4826E-007$\\ |
| 339 |
$0,6$&$ 0,0393469066$&$ 0,0423795612$&$ 0,0422279285$&$ 0,0451241137$&$ 1,1488119344$&$ 1,1488116361$&$ 2,5964E-007$\\ |
| 340 |
$0,7$&$ 0,0451188066$&$ 0,0478628662$&$ 0,0477256633$&$ 0,0503462402$&$ 1,1965856187$&$ 1,1965853038$&$ 2,6314E-007$\\ |
| 341 |
$0,8$&$ 0,0503414381$&$ 0,0528243662$&$ 0,0527002198$&$ 0,0550714162$&$ 1,2493292897$&$ 1,2493289641$&$ 2,6063E-007$\\ |
| 342 |
$0,9$&$ 0,055067071$&$ 0,0573137175$&$ 0,0572013852$&$ 0,0593469325$&$ 1,3065699912$&$ 1,3065696597$&$ 2,5368E-007$\\ |
| 343 |
$1$&$ 0,0593430009$&$ 0,0613758508$&$ 0,0612742083$&$ 0,06321558$&$ 1,3678797744$&$ 1,3678794412$&$ 2,4361E-007$\\ |
| 344 |
$1,1$&$ 0,0632120226$&$ 0,0650514214$&$ 0,0649594515$&$ 0,0667160774$&$ 1,4328714154$&$ 1,4328710837$&$ 2,3148E-007$\\ |
| 345 |
$1,2$&$ 0,0667128585$&$ 0,0683772155$&$ 0,0682939977$&$ 0,0698834587$&$ 1,5011945393$&$ 1,5011942119$&$ 2,1809E-007$\\ |
| 346 |
$1,3$&$ 0,0698805461$&$ 0,0713865188$&$ 0,0713112201$&$ 0,0727494241$&$ 1,572532114$&$ 1,572531793$&$ 2,0408E-007$\\ |
| 347 |
$1,4$&$ 0,0727467886$&$ 0,0741094492$&$ 0,0740413161$&$ 0,075342657$&$ 1,6465972767$&$ 1,6465969639$&$ 1,8992E-007$\\ |
| 348 |
$1,5$&$ 0,0753402723$&$ 0,0765732587$&$ 0,0765116094$&$ 0,0776891114$&$ 1,7231304633$&$ 1,7231301601$&$ 1,7594E-007$\\ |
| 349 |
$1,6$&$ 0,0776869537$&$ 0,078802606$&$ 0,0787468234$&$ 0,0798122713$&$ 1,8018968106$&$ 1,801896518$&$ 1,6239E-007$\\ |
| 350 |
$1,7$&$ 0,0798103189$&$ 0,080819803$&$ 0,0807693288$&$ 0,0817333861$&$ 1,8826838054$&$ 1,8826835241$&$ 1,4942E-007$\\ |
| 351 |
$1,8$&$ 0,0817316195$&$ 0,0826450385$&$ 0,0825993675$&$ 0,0834716827$&$ 1,9652991577$&$ 1,9652988882$&$ 1,3714E-007$\\ |
| 352 |
$1,9$&$ 0,0834700842$&$ 0,08429658$&$ 0,0842552552$&$ 0,0850445587$&$ 2,0495688766$&$ 2,0495686192$&$ 1,2559E-007$\\ |
| 353 |
$2$&$ 0,0850431123$&$ 0,0857909567$&$ 0,0857535645$&$ 0,0864677559$&$ 2,1353355284$&$ 2,1353352832$&$ 1,1482E-007$\\ |
| 354 |
$2,1$&$ 0,0864664472$&$ 0,0871431248$&$ 0,0871092909$&$ 0,0877555181$&$ 2,2224566612$&$ 2,2224564283$&$ 1,0481E-007$\\ |
| 355 |
$2,2$&$ 0,0877543339$&$ 0,0883666172$&$ 0,088336003$&$ 0,0889207336$&$ 2,3108033792$&$ 2,3108031584$&$ 9,5557E-008$\\ |
| 356 |
$2,3$&$ 0,0889196621$&$ 0,089473679$&$ 0,0894459781$&$ 0,0899750643$&$ 2,4002590526$&$ 2,4002588437$&$ 0,000000087$\\ |
| 357 |
$2,4$&$ 0,0899740947$&$ 0,09047539$&$ 0,0904503252$&$ 0,0909290622$&$ 2,4907181505$&$ 2,4907179533$&$ 7,9183E-008$\\ |
| 358 |
$2,5$&$ 0,0909281849$&$ 0,0913817757$&$ 0,0913590962$&$ 0,0917922753$&$ 2,5820851845$&$ 2,5820849986$&$ 0,000000072$\\ |
| 359 |
$2,6$&$ 0,0917914815$&$ 0,0922019075$&$ 0,0921813862$&$ 0,0925733429$&$ 2,6742737531$&$ 2,6742735782$&$ 6,5411E-008$\\ |
| 360 |
$2,7$&$ 0,0925726247$&$ 0,0929439935$&$ 0,092925425$&$ 0,0932800822$&$ 2,7672056771$&$ 2,7672055127$&$ 5,9399E-008$\\ |
| 361 |
$2,8$&$ 0,0932794323$&$ 0,0936154607$&$ 0,0935986593$&$ 0,0939195664$&$ 2,8608102169$&$ 2,8608100626$&$ 5,3913E-008$\\ |
| 362 |
$2,9$&$ 0,0939189783$&$ 0,0942230294$&$ 0,0942078268$&$ 0,0944981956$&$ 2,9550233646$&$ 2,9550232201$&$ 4,8914E-008$\\ |
| 363 |
$3$&$ 0,0944976635$&$ 0,0947727804$&$ 0,0947590245$&$ 0,0950217611$&$ 3,0497872037$&$ 3,0497870684$&$ 4,4363E-008$\\ |
| 364 |
$3,1$&$ 0,0950212796$&$ 0,0952702157$&$ 0,0952577689$&$ 0,0954955027$&$ 3,1450493289$&$ 3,1450492024$&$ 4,0223E-008$\\ |
| 365 |
$3,2$&$ 0,0954950671$&$ 0,0957203138$&$ 0,0957090514$&$ 0,095924162$&$ 3,2407623221$&$ 3,240762204$&$ 3,6459E-008$\\ |
| 366 |
$3,3$&$ 0,0959237678$&$ 0,0961275794$&$ 0,0961173888$&$ 0,0963120289$&$ 3,3368832777$&$ 3,3368831674$&$ 0,000000033$\\ |
| 367 |
|
| 368 |
\hline |
| 369 |
\end{tabular} |
| 370 |
\normalsize |
| 371 |
\\ |
| 372 |
|
| 373 |
On remarque que la méthode est assez précise c'est pourquoi c'est une méthode très employée en ingénierie. |
| 374 |
|
| 375 |
\subsection{Système d'équations différentielles d'ordre 1} |
| 376 |
\label{sysordre1} |
| 377 |
\subsubsection{La méthode} |
| 378 |
Soit à résoudre le système à $m$ équations suivant |
| 379 |
\begin{eqnarray*} |
| 380 |
\left \{ |
| 381 |
\begin{array}{l} |
| 382 |
y_1'(x)=f_1\left(x,y_1(x),y_2(x),...,y_m(x)\right)\quad y_1(x_0)=y_{1,0}\\ |
| 383 |
y_2'(x)=f_2\left(x,y_1(x),y_2(x),...,y_m(x)\right)\quad y_2(x_0)=y_{2,0}\\ |
| 384 |
\vdots\\ |
| 385 |
y_m'(x)=f_m\left(x,y_1(x),y_2(x),...,y_m(x)\right)\quad y_m(x_0)=y_{m,0} |
| 386 |
\end{array} |
| 387 |
\right. |
| 388 |
\end{eqnarray*} |
| 389 |
On donne ici l'algorithme de RK4 pour ce système d'équations différentielles couplées (attention ici i est l'itérateur de fonction et n l'itérateur de pas de calcul). |
| 390 |
\begin{eqnarray*} |
| 391 |
\left \{ |
| 392 |
\begin{array}{l} |
| 393 |
k_{i,1}=hf_i(x_n,y_{1,n},y_{2,n},...,y_{m,n})\quad 1\le i\le m\\ |
| 394 |
k_{i,2}=hf_i(x_n+\frac{h}{2},y_{1,n}+\frac{k_{1,1}}{2},y_{2,n}+\frac{k_{2,1}}{2},...,y_{m,n}+\frac{k_{m,1}}{2})\quad 1\le i\le m\\ |
| 395 |
k_{i,3}=hf_i(x_n+\frac{h}{2},y_{1,n}+\frac{k_{1,2}}{2},y_{2,n}+\frac{k_{2,2}}{2},...,y_{m,n}+\frac{k_{m,2}}{2})\quad 1\le i\le m\\ |
| 396 |
k_{i,4}=hf_i(x_n+h,y_{1,n}+k_{1,3},y_{2,n}+k_{2,3},...,y_{m,n}+k_{m,3})\quad 1\le i\le m\\ |
| 397 |
y_{i,n+1}=y_{i,n}+\frac{1}{6}(k_{i,1}+2k_{i,2}+2k_{i,3}+k_{i,4})\quad 1\le i\le m\\ |
| 398 |
x_{n+1}=x_n+h |
| 399 |
\end{array} |
| 400 |
\right. |
| 401 |
\end{eqnarray*} |
| 402 |
|
| 403 |
\subsubsection{Exemple} |
| 404 |
|
| 405 |
On cherche à résoudre\\ |
| 406 |
\begin{eqnarray*} |
| 407 |
\left \{ |
| 408 |
\begin{array}{l} |
| 409 |
y_1'(x)=y_2(x)\\ |
| 410 |
y_2'(x)=2y_2(x)-y_1(x)\\ |
| 411 |
y_1(0)=2\\ |
| 412 |
y_2(0)=1\\ |
| 413 |
\end{array} |
| 414 |
\right. |
| 415 |
\end{eqnarray*} |
| 416 |
On calcule le résultat toujours pour $h=0.1$. |
| 417 |
\\On pose |
| 418 |
\begin{eqnarray*} |
| 419 |
\left \{ |
| 420 |
\begin{array}{l} |
| 421 |
f_1(x,y_1,y_2)=y_2\\ |
| 422 |
f_2(x,y_1,y_2)=2y_2-y_1\\ |
| 423 |
k_{1,1}=hf_1(x_n,y_{1,n},y_{2,n})\\ |
| 424 |
k_{2,1}=hf_2(x_n,y_{1,n},y_{2,n})\\ |
| 425 |
k_{1,2}=hf_1(x_n+\frac{h}{2},y_{1,n}+\frac{k_{1,1}}{2},y_{2,n}+\frac{k_{2,1}}{2})\\ |
| 426 |
k_{2,2}=hf_2(x_n+\frac{h}{2},y_{1,n}+\frac{k_{1,1}}{2},y_{2,n}+\frac{k_{2,1}}{2})\\ |
| 427 |
k_{1,3}=hf_1(x_n+\frac{h}{2},y_{1,n}+\frac{k_{1,2}}{2},y_{2,n}+\frac{k_{2,2}}{2})\\ |
| 428 |
k_{2,3}=hf_2(x_n+\frac{h}{2},y_{1,n}+\frac{k_{1,2}}{2},y_{2,n}+\frac{k_{2,2}}{2})\\ |
| 429 |
k_{1,4}=hf_1(x_n+h,y_{1,n}+k_{1,3},y_{2,n}+k_{2,3})\\ |
| 430 |
k_{2,4}=hf_2(x_n+h,y_{1,n}+k_{1,3},y_{2,n}+k_{2,3})\\ |
| 431 |
\end{array} |
| 432 |
\right. |
| 433 |
\end{eqnarray*} |
| 434 |
|
| 435 |
|
| 436 |
|
| 437 |
|
| 438 |
|
| 439 |
\footnotesize |
| 440 |
\begin{turn}{-90} |
| 441 |
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} |
| 442 |
\hline |
| 443 |
$x_i$ & $k_{1.1}$ & $k_{2.1}$ & $k_{1.2}$ & $k_{2.2}$ & $k_{1.3}$ & $k_{2.3}$ & $k_{1.4}$ & $k_{2.4}$ & $y_{1,i}$ & $y_{2.i}$ \\ |
| 444 |
\hline |
| 445 |
|
| 446 |
$0$&&&&&&&&&$2$&$1$\\ \hdashline |
| 447 |
$0,1$&$ 0,1$&$ 0$&$ 0,1$&$ -0,005$&$ 0,09975$&$ -0,0055$&$ 0,09945$&$ -0,011075$&$ 2,099825$&$ 0,9946541667$\\ |
| 448 |
$0,2$&$ 0,0994654167$&$ -0,0110516667$&$ 0,0989128333$&$ -0,0171301042$&$ 0,0986089115$&$ -0,0177103188$&$ 0,0976943848$&$ -0,0244546216$&$ 2,1985255485$&$ 0,9771229777$\\ |
| 449 |
$0,3$&$ 0,0977122978$&$ -0,0244279593$&$ 0,0964908998$&$ -0,0317563701$&$ 0,0961244793$&$ -0,0324281413$&$ 0,0944694836$&$ -0,0405260355$&$ 2,2947609718$&$ 0,9449024747$\\ |
| 450 |
$0,4$&$ 0,0944902475$&$ -0,0404956022$&$ 0,0924654674$&$ -0,0492696748$&$ 0,0920267637$&$ -0,0500458431$&$ 0,0894856632$&$ -0,0597074472$&$ 2,3869210339$&$ 0,8950967938$\\ |
| 451 |
$0,5$&$ 0,0895096794$&$ -0,0596727446$&$ 0,0865260421$&$ -0,0701155031$&$ 0,0860039042$&$ -0,071010597$&$ 0,0824086197$&$ -0,0824752545$&$ 2,4730840659$&$ 0,8243634273$\\ |
| 452 |
$0,6$&$ 0,0824363427$&$ -0,0824357211$&$ 0,0783145567$&$ -0,0948011104$&$ 0,0776962872$&$ -0,09583156$&$ 0,0728531867$&$ -0,1093716619$&$ 2,5509692687$&$ 0,7288513066$\\ |
| 453 |
$0,7$&$ 0,0728851307$&$ -0,1093266655$&$ 0,0674187974$&$ -0,1239035886$&$ 0,0666899512$&$ -0,1250879643$&$ 0,0603763342$&$ -0,1410132535$&$ 2,6178824291$&$ 0,6041308025$\\ |
| 454 |
$0,8$&$ 0,0604130802$&$ -0,1409620824$&$ 0,0533649761$&$ -0,1580789447$&$ 0,052509133$&$ -0,1594382257$&$ 0,0444692577$&$ -0,1781006408$&$ 2,6706541885 $&$0,4451146252$\\ |
| 455 |
$0,9$&$ 0,0445114625$&$ -0,1780424938$&$ 0,0356093378$&$ -0,1980723163$&$ 0,0346078467$&$ -0,1996301923$&$ 0,0245484433$&$ -0,221429317$&$ 2,7055699009$&$ 0,2459684872$\\ |
| 456 |
$1$&$ 0,0245968487$&$ -0,2213632927$&$ 0,0135286841$&$ -0,2447294644$&$ 0,0123603755$&$ -0,2465126733$&$ -5,4418E-005$&$ -0,2719018649$&$ 2,7182899925$&$ 1,0248E-005$\\ |
| 457 |
$1,1$&$ 1,0248E-006$&$ -0,2718269496$&$ -0,0135903226$&$ -0,2990096958$&$ -0,01494946$&$ -0,301048403$&$ -0,0301038155$&$ -0,3305416842$&$ 2,7037595998$&$ -0,3004038902$\\ |
| 458 |
$1,2$&$ -0,030040389$&$ -0,330456738$&$ -0,0465632259$&$ -0,3620003924$&$ -0,0481404086$&$ -0,364328616$&$ -0,0664732506$&$ -0,3985084204$&$ 2,656106115$&$ -0,6640077527$\\ |
| 459 |
$1,3$&$ -0,0664007753$&$ -0,3984121621$&$ -0,0863213834$&$ -0,4349333395$&$ -0,0881474422$&$ -0,4375894268$&$ -0,110159718$&$ -0,4771153032$&$ 2,568523091$&$ -1,1007699191$\\ |
| 460 |
$1,4$&$ -0,1100769919$&$ -0,4770062929$&$ -0,1339273066$&$ -0,5192030726$&$ -0,1360371455$&$ -0,5222302348$&$ -0,1623000154 $&$-0,5678486253$&$ 2,4331387724$&$ -1,6220568412$\\ |
| 461 |
$1,5$&$ -0,1622056841$&$ -0,5677252455$&$ -0,1905919464$&$ -0,6163874858$&$ -0,1930250584$&$ -0,6198343967$&$ -0,2241891238$&$ -0,672389619$&$ 2,2408673028$&$ -2,2408166128$\\ |
| 462 |
$1,6$&$ -0,2240816613$&$ -0,6722500528$&$ -0,2576941639$&$ -0,7282709751$&$ -0,26049521$&$ -0,7321924422$&$ -0,2973009055$&$ -0,7926390203$&$ 1,981240417$&$ -2,9717859308$\\ |
| 463 |
$1,7$&$ -0,2971785931$&$ -0,7924812279$&$ -0,3368026545$&$ -0,856870421$&$ -0,3400221141$&$ -0,8613281372$&$ -0,3833114068$&$ -0,9307446439$&$ 1,6422171608$&$ -3,8317230955$\\ |
| 464 |
$1,8$&$ -0,3831723095$&$ -0,9305663352$&$ -0,4297006263$&$ -1,0044643532$&$ -0,4333955272$&$ -1,0095277392$&$ -0,4841250835$&$ -1,0891323303$&$ 1,2099688775$&$ -4,8396702372$\\ |
| 465 |
$1,9$&$ -0,4839670237$&$ -1,0889309352$&$ -0,5384135705$&$ -1,1736256775$&$ -0,5426483076$&$ -1,1793728244$&$ -0,6019043062$&$ -1,2705406693$&$ 0,6686363631$&$ -6,0172483386$\\ |
| 466 |
$2$&$ -0,6017248339$&$ -1,270313304$&$ -0,6652404991$&$ -1,3672583927$&$ -0,6700877535$&$ -1,3737771184$&$ -0,7391025457$&$ -1,4780599524$&$ 5,5715E-005$&$ -7,3889890517$\\ |
| 467 |
|
| 468 |
\hline |
| 469 |
\end{tabular} |
| 470 |
\end{turn} |
| 471 |
\normalsize |
| 472 |
\\ \\ |
| 473 |
La solution exacte de ce système est |
| 474 |
\begin{eqnarray*} |
| 475 |
\left \{ |
| 476 |
\begin{array}{l} |
| 477 |
y_1(x)=2e^x-xe^x\\ |
| 478 |
y_2(x)=e^x-xe^x\\ |
| 479 |
\end{array} |
| 480 |
\right. |
| 481 |
\end{eqnarray*} |
| 482 |
et le tracé des résultats permet de montrer la bonne précision de cette méthode. |
| 483 |
\begin{figure} |
| 484 |
\begin{center} |
| 485 |
\includegraphics[width=12cm,bb=0 0 623 356]{./rk4couple.jpg} |
| 486 |
% rk5couple.jpg: 831x475 pixel, 96dpi, 21.99x12.57 cm, bb=0 0 623 356 |
| 487 |
\end{center} |
| 488 |
\caption{Solution du problème de RK4 couplé et comparaison avec la solution exacte} |
| 489 |
\end{figure} |
| 490 |
|
| 491 |
\section{Résolution d'équation différentielle d'ordre supérieur} |
| 492 |
Il existe deux types d'équation différentielle d'ordre supérieur : |
| 493 |
\begin{itemize} |
| 494 |
\item Les équations où les conditions initiales sont connues. |
| 495 |
\item Les équations où les conditions aux frontières sont connues. |
| 496 |
\end{itemize} |
| 497 |
\subsection{Équations différentielles avec conditions initiales} |
| 498 |
\subsubsection{La méthode} |
| 499 |
Ce système d'équations s'écrit |
| 500 |
\begin{eqnarray*} |
| 501 |
\left \{ |
| 502 |
\begin{array}{l} |
| 503 |
y^{(m)}=f(x,y(x),y'(x),...,y^{(m-1)})\\ |
| 504 |
y(x_0)=y_0\\ |
| 505 |
y'(x_0)=y_0'\\ |
| 506 |
\vdots\\ |
| 507 |
y^{(m-1)}(x_0)=y_0^{(m-1)} |
| 508 |
\end{array} |
| 509 |
\right. |
| 510 |
\end{eqnarray*} |
| 511 |
Pour résoudre ce système on écrit les changements de variables suivants |
| 512 |
\begin{eqnarray*} |
| 513 |
\left \{ |
| 514 |
\begin{array}{l} |
| 515 |
y_1(x)=y(x)\\ |
| 516 |
y_2(x)=y'(x)=y_1'(x)\\ |
| 517 |
y_3(x)=y''(x)=y_2'(x)\\ |
| 518 |
\vdots\\ |
| 519 |
y_m(x)=y^{(m-1)}(x)=y_{m-1}'(x) |
| 520 |
\end{array} |
| 521 |
\right. |
| 522 |
\end{eqnarray*} |
| 523 |
Le système de départ devient alors\\ |
| 524 |
\begin{eqnarray*} |
| 525 |
\left \{ |
| 526 |
\begin{array}{l} |
| 527 |
y_1'(x)=y_2(x)\\ |
| 528 |
y_2'(x)=y_3(x)\\ |
| 529 |
\vdots \\ |
| 530 |
y_{m-1}'=y_m(x)\\ |
| 531 |
y_{m}'=f(x,y_1(x),y_2(x)...,y_{m}(x))\\ |
| 532 |
y_1(x_0)=y(x_0)=y_0\\ |
| 533 |
y_2(x_0)=y(x_0)'=y_0'\\ |
| 534 |
y_3(x_0)=y(x_0)''=y_0''\\ |
| 535 |
\vdots\\ |
| 536 |
y_m(x_0)=y^{(m-1)}(x_0)=y_0^{m-1} |
| 537 |
\end{array} |
| 538 |
\right. |
| 539 |
\end{eqnarray*} |
| 540 |
On aboutit à un système de m équations différentielles d'ordre 1 couplées qui correspond au cas étudié à la section \ref{sysordre1}. |
| 541 |
\subsubsection{Exemple} |
| 542 |
Soit à résoudre |
| 543 |
\begin{eqnarray*} |
| 544 |
\left \{ |
| 545 |
\begin{array}{l} |
| 546 |
y''(x)=-y'(x)+(y(x))^2+x^2-5\\ |
| 547 |
y(0)=1\\ |
| 548 |
y'(0)=2\\ |
| 549 |
\end{array} |
| 550 |
\right. |
| 551 |
\end{eqnarray*} |
| 552 |
On pose |
| 553 |
\begin{eqnarray*} |
| 554 |
\left \{ |
| 555 |
\begin{array}{l} |
| 556 |
y_1(x)=y(x)\\ |
| 557 |
y_2(x)=y'(x)=y_1'(x)\\ |
| 558 |
y_2'(x)=-y_2(x)+(y_1(x))^2+x^2-5\\ |
| 559 |
y_1(0)=y(0)=1\\ |
| 560 |
y_2(0)=y'(0)=2\\ |
| 561 |
\end{array} |
| 562 |
\right. |
| 563 |
\end{eqnarray*} |
| 564 |
Ce système peut être résolu avec la méthode RK4 couplée de la section \ref{sysordre1} |
| 565 |
\subsection{Équations différentielles avec conditions aux frontières} |
| 566 |
Contrairement aux différents cas dans ce chapitre, quelques fois nous connaissons les conditions aux frontières au lieu des conditions initiales. |
| 567 |
Le cas le plus courant en mécanique est l'équation de la flèche d'une poutre de longueur $L$ en flexion appuyée sur deux appuis simples. L'équation est $y''=\frac{M}{EI}$ avec $y(0)=y(L)=0$. |
| 568 |
\\En règle générale un tel problème s'écrit à l'ordre 2 |
| 569 |
\begin{eqnarray*} |
| 570 |
\left \{ |
| 571 |
\begin{array}{l} |
| 572 |
|
| 573 |
y''(x)=f(x,y(x),y'(x))\\ |
| 574 |
y(x_0)=y_0\\ |
| 575 |
y(x_n)=y_n\\ |
| 576 |
\end{array} |
| 577 |
\right. |
| 578 |
\end{eqnarray*} |
| 579 |
|
| 580 |
\subsubsection{Méthode de TIR} |
| 581 |
Dans ce cas, on a appris à résoudre les cas ou les conditions initiales sont connues. On va donc essayer de se ramener à ce cas. |
| 582 |
On va poser la condition initiale manquante $y'(0)=y'_0$ et on teste (on dit qu'on tire) le résultat via une méthode RK4 couplée puis on rectifie le résultat. |
| 583 |
\\ |
| 584 |
Si la fonction $f$ est linéaire pour les différentes dérivées de $y$ alors il suffit de tirer deux fois pour obtenir la solution. Le premier tir avec $y'(0)=0$ donne une solution $y_{s1}(x)$ et le deuxième tir avec $y'(0)=1$ donne une solution $y_{s2}(x)$ . |
| 585 |
La solution est alors |
| 586 |
\begin{eqnarray*} |
| 587 |
y(x)=\frac{y_n-y_{s2}(x_n)}{y_{s1}(x_n)-y_{s2}(x_n)}y_{s1}(x)+\frac{y_{s1}(x_n)-y_n}{y_{s1}(x_n)-y_{s2}(x_n)}y_{s2}(x) |
| 588 |
\end{eqnarray*} |
| 589 |
|
| 590 |
Si la fonction $f$ est non linéaire, le problème est plus complexe parce qu'il faut tirer plusieurs fois. On pose $y'(0)=\beta$ et effectue un tir et on obtient $y_\beta(x)$ et on construit la fonction $g(\beta)=y_\beta(x_n)-y_n$. On recherche $\beta$ pour annuler la fonction $g$, |
| 591 |
Cette fonction $g$ est une fonction non linéaire et les méthodes du chapitre \ref{equanonli} doivent être employées: |
| 592 |
\begin{itemize} |
| 593 |
\item la méthode de la bissection pose le problème de choisir adéquatement les bornes $\beta_0$ et $\beta_1$ de la recherche de la racine. |
| 594 |
\item la méthode du point fixe ne peut être utilisé parce que la fonction $g$ ne peut pas être mise sous la forme $\beta=h(\beta)$. |
| 595 |
\item la méthode de Newton nécessite de connaître $g'(\beta)=\left[y_\beta(x_n)-y_n\right]')$. Comme nous ne connaissons pas la fonction $g$ de manière littérale, nous ne pouvons pas la dériver. Il faut donc utiliser une méthode numérique de dérivation. Par exemple on peut définir $g'(\beta)=\frac{g(\beta+\epsilon)-g(\beta)}{\epsilon}$. |
| 596 |
\end{itemize} |
| 597 |
Cette méthode de TIR dans le cas d'une fonction $f$ non linéaire consiste à effectuer une recherche de racine où à chaque itération de la solution on doit résoudre un (ou plusieurs pour obtenir $g'(\beta)$) système d'équations linaires d'ordre 1 par la méthode de RK4 couplée. |
| 598 |
\subsubsection{Exemple méthode de TIR} |
| 599 |
|
| 600 |
\textbf{}\\ |
| 601 |
\textbf{Énoncé}\\ |
| 602 |
L'objectif est de trouver la flèche d'une poutre ($E=200GPa$ et $I=2.56$ $10^{-6}mm^4$) sur deux appuis. |
| 603 |
\begin{center} |
| 604 |
\includegraphics[width=10cm,bb=0 0 276 164]{./poutrefleche.jpg} |
| 605 |
% poutrefleche.jpg: 368x218 pixel, 96dpi, 9.74x5.77 cm, bb=0 0 276 164 |
| 606 |
\end{center} |
| 607 |
|
| 608 |
La flèche est donné par l'expression |
| 609 |
\begin{eqnarray*} |
| 610 |
y''(x)=\frac{M(x)}{EI} |
| 611 |
\end{eqnarray*} |
| 612 |
où M est le moment fléchissant de la poutre. \\ |
| 613 |
Les conditions initiales sont $y(0)=y(4)=0$\\ |
| 614 |
|
| 615 |
Dans ce cas le moment fléchissant vaut |
| 616 |
\begin{eqnarray*} |
| 617 |
\left \{ |
| 618 |
\begin{array}{l} |
| 619 |
M(x)=\frac{12000x}{EI}\text{ si $x\leq$1}\\ |
| 620 |
M(x)=\frac{12000x-16000(x-1)}{EI}=\frac{-4(x-4)}{EI}\text{ si $x$>1}\\ |
| 621 |
\end{array} |
| 622 |
\right. |
| 623 |
\end{eqnarray*} |
| 624 |
|
| 625 |
Le problème se met en équation selon la manière suivante : |
| 626 |
\begin{eqnarray*} |
| 627 |
\left \{ |
| 628 |
\begin{array}{l} |
| 629 |
y''(x)=\frac{M(x)}{EI}\\ |
| 630 |
y(0)=y(4)=0\\ |
| 631 |
\end{array} |
| 632 |
\right. |
| 633 |
\end{eqnarray*} |
| 634 |
et il se transforme un problème du premier ordre couplé : |
| 635 |
\begin{eqnarray*} |
| 636 |
\left \{ |
| 637 |
\begin{array}{l} |
| 638 |
y'_1(x)=y_2(x)\\ |
| 639 |
y'_2(x)=\frac{M(x)}{EI}\\ |
| 640 |
y_1(0)=0\\ |
| 641 |
y_2(0)=\beta\\ |
| 642 |
\end{array} |
| 643 |
\right. |
| 644 |
\end{eqnarray*} |
| 645 |
La solution du problème est $y_1(x)$ et on doit retrouver $y_1(4)=0$ en choisissant le bon $\beta$. |
| 646 |
|
| 647 |
\textbf{Résolution linéaire}\\ |
| 648 |
La solution consiste à tirer avec $\beta=0$ en appliquant la méthode RK4 couplée. |
| 649 |
\begin{center} |
| 650 |
\includegraphics[width=10cm,bb=0 0 734 478]{./libeta0.jpg} |
| 651 |
% libeta0.jpg: 978x637 pixel, 96dpi, 25.88x16.85 cm, bb=0 0 734 478 |
| 652 |
\end{center} |
| 653 |
puis avec $\beta=1$ |
| 654 |
\begin{center} |
| 655 |
\includegraphics[width=10cm,bb=0 0 734 478]{./libeta1.jpg} |
| 656 |
% libeta1.jpg: 978x637 pixel, 96dpi, 25.88x16.85 cm, bb=0 0 734 478 |
| 657 |
\end{center} |
| 658 |
La combinaison des 2 donne le résultat final |
| 659 |
\begin{center} |
| 660 |
\includegraphics[width=10cm,bb=0 0 734 478]{./liy.jpg} |
| 661 |
% liy.jpg: 978x637 pixel, 96dpi, 25.88x16.85 cm, bb=0 0 734 478 |
| 662 |
\end{center} |
| 663 |
La solution est obtenue en 2 tirs (RK4 couplée).\\ |
| 664 |
\textbf{Résolution non linéaire}\\ |
| 665 |
On tire avec $\beta=1$ et avec $\beta=1.001$($\epsilon=0.001$) et on a |
| 666 |
\begin{center} |
| 667 |
\includegraphics[width=10cm,bb=0 0 734 478]{./nonliyb1.jpg} |
| 668 |
% nonliyb1.jpg: 978x637 pixel, 96dpi, 25.88x16.85 cm, bb=0 0 734 478 |
| 669 |
\end{center} |
| 670 |
\begin{center} |
| 671 |
\includegraphics[width=10cm,bb=0 0 734 478]{./nonliybeps1.jpg} |
| 672 |
% nonliybeps1.jpg: 978x637 pixel, 96dpi, 25.88x16.85 cm, bb=0 0 734 478 |
| 673 |
\end{center} |
| 674 |
on résout la fonction $g(\beta)=y_\beta(x_n)-y_n$ par la méthode de Newton. on a \\ |
| 675 |
\begin{eqnarray*} |
| 676 |
\beta_{i+1}&=&\beta_i-\frac{g(\beta_i)}{g'(\beta_i)}\\ |
| 677 |
g'(\beta_i)&=&\frac{g(\beta_i+\epsilon)-g(\beta_i)}{\epsilon}\\ |
| 678 |
\beta_{i+1}&=&\beta_i-\frac{g(\beta_i)\epsilon}{g'(\beta_i+\epsilon)-g(\beta_i)}\\ |
| 679 |
\beta_{i+1}&=&1-\frac{4.1093749999*0.001}{4.11337499999-4.1093749999}=-0.0273437499999 |
| 680 |
\end{eqnarray*} |
| 681 |
On tire avec cette dernière valeur de $\beta$ et $\beta+\epsilon$ |
| 682 |
\begin{center} |
| 683 |
\includegraphics[width=10cm,bb=0 0 734 478]{./nonliyb2.jpg} |
| 684 |
% nonliyb2.jpg: 978x637 pixel, 96dpi, 25.88x16.85 cm, bb=0 0 734 478 |
| 685 |
\end{center} |
| 686 |
\begin{center} |
| 687 |
\includegraphics[width=10cm,bb=0 0 734 478]{./nonliybeps2.jpg} |
| 688 |
% nonliybeps2.jpg: 978x637 pixel, 96dpi, 25.88x16.85 cm, bb=0 0 734 478 |
| 689 |
\end{center} |
| 690 |
on résout à nouveau la fonction $g(\beta)=y_\beta(x_n)-y_n$ par la méthode de Newton et on a \\ |
| 691 |
\begin{eqnarray*} |
| 692 |
\beta_{i+1}=-0.0273437499999-\frac{0.000000000001375759*0.001}{0.0004000000001375}=-0.0273437499999 |
| 693 |
\end{eqnarray*} |
| 694 |
$\beta$ ne change plus la solution est convergée et le résultat obtenu est le résultat final. |
| 695 |
La solution est obtenue en 4 tirs (RK4 couplée). |
| 696 |
\subsubsection{Méthode des différences finies} |
| 697 |
On considère ici l'équation différentielle avec conditions aux frontières suivante : |
| 698 |
\begin{eqnarray*} |
| 699 |
\left \{ |
| 700 |
\begin{array}{l} |
| 701 |
y''(x)=a_2(x)y'(x)+a_1(x)y(x)+a_0(x)\\ |
| 702 |
y(a)=y_a\\ |
| 703 |
y(b)=y_b\\ |
| 704 |
\end{array} |
| 705 |
\right. |
| 706 |
\end{eqnarray*} |
| 707 |
On récrit ce problème sous la forme suivante |
| 708 |
\begin{eqnarray*} |
| 709 |
\left \{ |
| 710 |
\begin{array}{l} |
| 711 |
y''(x)-a_2(x)y'(x)-a_1(x)y(x)=a_0(x)\\ |
| 712 |
y(a)=y_a\\ |
| 713 |
y(b)=y_b\\ |
| 714 |
\end{array} |
| 715 |
\right. |
| 716 |
\end{eqnarray*} |
| 717 |
et on introduit les différences centrées d'ordre 2 calculées dans le chapitre \ref{diffinte}. Pour cela on divise l'intervalle $[a,b]$ en $n$ sous intervalle de longueur $h=\frac{b-a}{h}$ et on a $x_i=a+ih$ et $x_n=a+nh=b$. |
| 718 |
\begin{eqnarray*} |
| 719 |
y''(x_i)&=&\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}+O(h^2)\\ |
| 720 |
y'(x_i)&=&\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}+O(h^2)\\ |
| 721 |
\end{eqnarray*} |
| 722 |
L'équation différentielle devient |
| 723 |
\begin{eqnarray*} |
| 724 |
\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}-a_2(x_i)\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}-a_1(x_i)y(x)=a_0(x_i)\quad 1 \le i \le n-1\\ |
| 725 |
-(2+ha_2(x_i))y_{i-1}+(4+2h^2a_1(x_i))y_i+(-2+ha_2(x_i))y_{i+1}=-2h^2a_0(x_i)\quad 1 \le i \le n-1\\ |
| 726 |
\end{eqnarray*} |
| 727 |
On obtient ainsi $n-1$ équations pour $n-1$ inconnues ($(n+1)$ $y_i$ dont 2 connues $y_0$ $y_n$). Nous avons affaire un système d'équations linéaires que nous pouvons résoudre avec une méthode du chapitre \ref{equalgebrique} |
| 728 |
|
| 729 |
Ce système est un système tridiagonal, il se résout à l'aide de l'algorithme \ref{LUtri}. Il s'écrit\\ |
| 730 |
\begin{turn}{-90} |
| 731 |
\begin{minipage}[c][15cm][c]{20cm} |
| 732 |
\footnotesize |
| 733 |
\begin{eqnarray*} |
| 734 |
\begin{pmatrix} |
| 735 |
4+2h^2a_1(x_1) & -2+ha_2(x_1) & 0 & 0 & ... & 0\\ |
| 736 |
-2-ha_2(x_2) & 4+2h^2a_1(x_2) & -2+ha_2(x_2)&0 & ... & 0\\ |
| 737 |
\vdots& &\ddots & & & &\vdots\\ |
| 738 |
0 & ...& 0& -2-ha_2(x_{n-2}) & 4+2h^2a_1(x_{n-2}) & -2+ha_2(x_{n-2})\\ |
| 739 |
0 & ...& 0 &0& & -2-ha_2(x_{n-1}) & 4+2h^2a_1(x_{n-1}) \\ |
| 740 |
\end{pmatrix} |
| 741 |
\begin{pmatrix} |
| 742 |
y_1\\ |
| 743 |
y_2\\ |
| 744 |
\vdots\\ |
| 745 |
y_{n-2}\\ |
| 746 |
y_{n-1}\\ |
| 747 |
\end{pmatrix} |
| 748 |
= |
| 749 |
\begin{pmatrix} |
| 750 |
-2h^2a_0(x_1)+(2+ha_2(x_1))y_0\\ |
| 751 |
-2h^2a_0(x_2)\\ |
| 752 |
\vdots\\ |
| 753 |
-2h^2a_0(x_{n-2})\\ |
| 754 |
-2h^2a_0(x_{n-1})+(2+ha_2(x_{n-1}))y_n\\ |
| 755 |
\end{pmatrix} |
| 756 |
\end{eqnarray*} |
| 757 |
\end{minipage} |
| 758 |
\end{turn} |
| 759 |
\\En prenant des différences centrées d'ordre 2, nous obtenons une méthode moins précise que la méthode de RK4 couplée qui est d'ordre 4. On peut augmenter la précision de la méthode des différences finies en prenant des différences centrées plus élevées. |
| 760 |
\\[2cm] |
| 761 |
\begin{encadre}{À retenir} |
| 762 |
La résolution de systèmes d'équations différentielles est la base de beaucoup de modélisation d'ingénierie. Souvent ces systèmes se complexifient, quand le nombre d'inconnues augmentent, pour devenir des systèmes aux dérivées partielles. La méthode des différences fines est une introduction à cette généralisation. |
| 763 |
Dans cet optique la méthode Runge Kutta 4 (RK4) doit être comprise. |
| 764 |
\end{encadre} |
