| 91 |
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\subsubsection{Formule de différences finies pour $f'(x)$ } |
| 92 |
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Les formules de différences finies qui permettent d'évaluer la dérivée d'une fonction en des points de mesures sont déduites des calculs précédents : |
| 93 |
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\\ |
| 94 |
+ |
\begin{encadre2} |
| 95 |
+ |
\centering |
| 96 |
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\begin{tabular}{|l|} |
| 97 |
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\hline |
| 98 |
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\textbf{Formules de différences finies d'ordre 1 pour $f'(x)$}\\ |
| 125 |
|
\hline |
| 126 |
|
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| 127 |
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\end{tabular} |
| 128 |
+ |
\end{encadre2} |
| 129 |
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\subsection{Dérivée d'ordre supérieur} |
| 130 |
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Les différences finies pour le calcul des dérivées d'ordre supérieur se fait de la même manière que pour les dérivées premières. Cependant l'ordre d'erreur est plus difficile à déterminer parce que le terme $E_n$ est difficile à dériver plusieurs fois. |
| 131 |
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A la place on établit les formules des différences finies puis nous déterminons l'ordre en développant la formule des différences finies en série de Taylor pour obtenir la table suivante :\\ |
| 132 |
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\\ |
| 133 |
+ |
\begin{encadre2} |
| 134 |
+ |
\centering |
| 135 |
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\begin{tabular}{|l|} |
| 136 |
|
\hline |
| 137 |
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\textbf{Formules de différences finies d'ordre 1 pour $f''(x)$}\\ |
| 169 |
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Différence centrée d'ordre 2\\ |
| 170 |
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\hline |
| 171 |
|
\end{tabular} |
| 172 |
< |
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| 172 |
> |
\end{encadre2} |
| 173 |
|
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| 174 |
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\subsection{Erreur} |
| 175 |
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L'ensemble des formules de différences finies fait intervenir l'écart entre les points d'interpolation $h$. On pourrait croire que plus $h$ diminue plus le calcul est précis. |
| 219 |
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\end{eqnarray*} |
| 220 |
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En soustrayant les deux dernières équations il vient |
| 221 |
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\begin{eqnarray*} |
| 222 |
< |
(2^n-1)Q_{exa}&=&2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h) -\frac{1}{2}C_{n+1}\frac{h^{n+1}}{2} -\frac{3}{4}C_{n+2}\frac{h^{n+2}}{2^2} +...\\ |
| 223 |
< |
Q_{exa}&=&\frac{2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h)}{2^n-1}+\frac{ -\frac{1}{2}C_{n+1}\frac{h^{n+1}}{2} -\frac{3}{4}C_{n+2}\frac{h^{n+2}}{2^2} +...}{2^n-1}\\ |
| 222 |
> |
(2^n-1)Q_{exa}&=&2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h) -\frac{1}{2}C_{n+1}h^{n+1} -\frac{3}{4}C_{n+2}h^{n+2} +...\\ |
| 223 |
> |
Q_{exa}&=&\frac{2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h)}{2^n-1}+\frac{ -\frac{1}{2}C_{n+1}h^{n+1} -\frac{3}{4}C_{n+2}h^{n+2} +...}{2^n-1}\\ |
| 224 |
|
&=&\frac{2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h)}{2^n-1}+O(h^{n+1})\\ |
| 225 |
|
\end{eqnarray*} |
| 226 |
+ |
\begin{encadre2} |
| 227 |
+ |
\begin{eqnarray*} |
| 228 |
+ |
Q_{exa}&=&\frac{2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h)}{2^n-1}+O(h^{n+1})\\ |
| 229 |
+ |
\end{eqnarray*} |
| 230 |
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Le terme de droite est une approximation de la solution exacte $Q_{exa}$ d'ordre $n+1$. L'ordre de convergence a donc augmenté au moins de un. Selon les valeur de $C_{n+1}$ l'augmentation d'ordre pourrait être plus importante. |
| 231 |
+ |
\end{encadre2} |
| 232 |
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\subsection{Exemple} |
| 233 |
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On reprend l'exercice précédent et on effectue une extrapolation de Richardson. |
| 234 |
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\\ |
| 426 |
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On a donc $\int_{-1}^1f(x)dx=f\left(-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)+f\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$ et cette formule intègre exactement un polynôme de degré 3. |
| 427 |
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\item en continuant avec des valeurs de r plus élevé on trouve la table d'intégration de Gauss Legendre qui intègre exactement un polynôme de degré $2r-1$ |
| 428 |
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\\ |
| 429 |
+ |
\begin{encadre2} |
| 430 |
+ |
\centering |
| 431 |
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} |
| 432 |
|
\hline |
| 433 |
|
\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Quadrature de Gauss-Legendre}}\\ |
| 455 |
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& $\frac{\sqrt{245+14\sqrt{70}}}{35}$ & $\frac{322-13\sqrt{70}}{900}$ &\\ |
| 456 |
|
\hline |
| 457 |
|
\end{tabular} |
| 458 |
+ |
\end{encadre2} |
| 459 |
|
\end{itemize} |
| 460 |
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Maintenant nous pouvons revenir au problème initial qui est le calcul de $\int_a^b f(x)dx$. |
| 461 |
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On effectue un changement de variable |
| 493 |
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\begin{encadre}{À retenir} |
| 494 |
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Il est relativement aisé d'intégrer numériquement de manière précise. Au niveau de la dérivation cela est plus difficile. |
| 495 |
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\end{encadre} |
| 496 |
+ |
\\[1cm] |
| 497 |
+ |
\begin{encadre}{Exercices} |
| 498 |
+ |
Exercices 1, 13,14,15,16,28,32,33 pages 341-346 du livre ($5^{ème}$ edition)\\ |
| 499 |
+ |
\end{encadre} |
