| 1 |
+ |
\begin{encadre}{Objectif du chapitre} |
| 2 |
+ |
Le calcul dérivé et intégrale est présent dans toutes les modélisations des problèmes d'ingénierie. En pratique, nous avons souvent des modèles sous forme de fonction ce qui rend l'intégration et la dérivation difficile. Dans ce chapitre, l'objectif est d'effectuer des dérivées et des intégrales sans connaître les expressions à dériver ou à intégrer. |
| 3 |
+ |
\end{encadre} |
| 4 |
+ |
\\[1cm] |
| 5 |
+ |
\begin{encadre}{Connaissances antérieures nécessaires} |
| 6 |
+ |
\begin{itemize} |
| 7 |
+ |
\item les mathématiques : calcul différentiel, calcul intégral. |
| 8 |
+ |
\item programmation de base en Basic ou C : les types, les opérations élémentaires et la structuration de programme en mode console |
| 9 |
+ |
\end{itemize} |
| 10 |
+ |
|
| 11 |
+ |
\end{encadre} |
| 12 |
+ |
|
| 13 |
+ |
|
| 14 |
|
\section{Mise en situation} |
| 15 |
|
Dans le chapitre précédent, on a recherché une courbe passant par des points. En pratique, ces points sont souvent des points de mesure. Ce dernier chapitre a donc permis de trouver une fonction $f(x)$ qui passe exactement par ces points. |
| 16 |
|
Dans certaines applications, il peut être intéressant de connaître les fonctions dérivées ou les fonctions intégrales qui passent par ces points. |
| 38 |
|
\end{eqnarray*} |
| 39 |
|
$E'_n(x)$ est le terme d'erreur. Il est d'ordre $n$ aux points $x_i$ (il y a $n$ facteurs $x-x_i$). |
| 40 |
|
\subsubsection{Approximation d'ordre 1 } |
| 41 |
< |
Pour obtenir la dérivée première avec une approximation d'ordre 1, on doit poser $n=1$. On doit trouver un polynôme d'ordre $n=1$. Un polynome de degré 1 passe par 2 points $x_0$ et $x_1$: |
| 41 |
> |
Pour obtenir la dérivée première avec une approximation d'ordre 1, on doit poser $n=1$. On doit trouver un polynôme d'ordre $n=1$. Un polynôme de degré 1 passe par 2 points $x_0$ et $x_1$: |
| 42 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 43 |
|
p_1(x)&=&f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)\\ |
| 44 |
|
f(x)&=&p_1(x)+O(2)\\ |
| 85 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 86 |
|
f'(x_2)&=&f[x_0,x_1]+f[x_0,x_1,x_2](2x_2-x_0-x_1)\\ |
| 87 |
|
f'(x_2)&=&\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h}+\frac{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{h}-\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h}}{2h}(3h)\\ |
| 88 |
< |
f'(x_2)&=&\frac{f(x_0)-4f(x_1)+f(x_2)}{2h}\\ |
| 88 |
> |
f'(x_2)&=&\frac{f(x_0)-4f(x_1)+3f(x_2)}{2h}\\ |
| 89 |
|
\end{eqnarray*} |
| 90 |
|
Cette expression est la différence arrière d'ordre 2. |
| 91 |
|
\subsubsection{Formule de différences finies pour $f'(x)$ } |
| 92 |
|
Les formules de différences finies qui permettent d'évaluer la dérivée d'une fonction en des points de mesures sont déduites des calculs précédents : |
| 93 |
|
\\ |
| 94 |
+ |
\begin{encadre2} |
| 95 |
+ |
\centering |
| 96 |
|
\begin{tabular}{|l|} |
| 97 |
|
\hline |
| 98 |
|
\textbf{Formules de différences finies d'ordre 1 pour $f'(x)$}\\ |
| 125 |
|
\hline |
| 126 |
|
|
| 127 |
|
\end{tabular} |
| 128 |
+ |
\end{encadre2} |
| 129 |
|
\subsection{Dérivée d'ordre supérieur} |
| 130 |
|
Les différences finies pour le calcul des dérivées d'ordre supérieur se fait de la même manière que pour les dérivées premières. Cependant l'ordre d'erreur est plus difficile à déterminer parce que le terme $E_n$ est difficile à dériver plusieurs fois. |
| 131 |
|
A la place on établit les formules des différences finies puis nous déterminons l'ordre en développant la formule des différences finies en série de Taylor pour obtenir la table suivante :\\ |
| 132 |
|
\\ |
| 133 |
+ |
\begin{encadre2} |
| 134 |
+ |
\centering |
| 135 |
|
\begin{tabular}{|l|} |
| 136 |
|
\hline |
| 137 |
|
\textbf{Formules de différences finies d'ordre 1 pour $f''(x)$}\\ |
| 169 |
|
Différence centrée d'ordre 2\\ |
| 170 |
|
\hline |
| 171 |
|
\end{tabular} |
| 172 |
< |
|
| 172 |
> |
\end{encadre2} |
| 173 |
|
|
| 174 |
|
\subsection{Erreur} |
| 175 |
|
L'ensemble des formules de différences finies fait intervenir l'écart entre les points d'interpolation $h$. On pourrait croire que plus $h$ diminue plus le calcul est précis. |
| 219 |
|
\end{eqnarray*} |
| 220 |
|
En soustrayant les deux dernières équations il vient |
| 221 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 222 |
< |
(2^n-1)Q_{exa}&=&2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h) -\frac{1}{2}C_{n+1}\frac{h^{n+1}}{2} -\frac{3}{4}C_{n+2}\frac{h^{n+2}}{2^2} +...\\ |
| 223 |
< |
Q_{exa}&=&\frac{2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h)}{2^n-1}+\frac{ -\frac{1}{2}C_{n+1}\frac{h^{n+1}}{2} -\frac{3}{4}C_{n+2}\frac{h^{n+2}}{2^2} +...}{2^n-1}\\ |
| 222 |
> |
(2^n-1)Q_{exa}&=&2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h) -\frac{1}{2}C_{n+1}h^{n+1} -\frac{3}{4}C_{n+2}h^{n+2} +...\\ |
| 223 |
> |
Q_{exa}&=&\frac{2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h)}{2^n-1}+\frac{ -\frac{1}{2}C_{n+1}h^{n+1} -\frac{3}{4}C_{n+2}h^{n+2} +...}{2^n-1}\\ |
| 224 |
|
&=&\frac{2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h)}{2^n-1}+O(h^{n+1})\\ |
| 225 |
|
\end{eqnarray*} |
| 226 |
+ |
\begin{encadre2} |
| 227 |
+ |
\begin{eqnarray*} |
| 228 |
+ |
Q_{exa}&=&\frac{2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h)}{2^n-1}+O(h^{n+1})\\ |
| 229 |
+ |
\end{eqnarray*} |
| 230 |
|
Le terme de droite est une approximation de la solution exacte $Q_{exa}$ d'ordre $n+1$. L'ordre de convergence a donc augmenté au moins de un. Selon les valeur de $C_{n+1}$ l'augmentation d'ordre pourrait être plus importante. |
| 231 |
+ |
\end{encadre2} |
| 232 |
|
\subsection{Exemple} |
| 233 |
|
On reprend l'exercice précédent et on effectue une extrapolation de Richardson. |
| 234 |
|
\\ |
| 392 |
|
\int_{-1}^11dx&=&w_1*1=[x]_{-1}^1=2\\ |
| 393 |
|
\int_{-1}^1xdx&=&w_1*x_1=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^1=0\\ |
| 394 |
|
\end{eqnarray*} |
| 395 |
< |
Il vient que $w_1=1$ et $x_1=0$ et qu'un polynôme de degré 1 est intégré de manière exact. |
| 395 |
> |
Il vient que $w_1=1$ et $x_1=0$ et qu'un polynôme de degré 1 est intégré de manière exacte. |
| 396 |
|
\item si $r=2$, on a |
| 397 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 398 |
|
\int_{-1}^1f(x)dx=w_1f(x_1)+w_2f(x_2) |
| 426 |
|
On a donc $\int_{-1}^1f(x)dx=f\left(-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)+f\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$ et cette formule intègre exactement un polynôme de degré 3. |
| 427 |
|
\item en continuant avec des valeurs de r plus élevé on trouve la table d'intégration de Gauss Legendre qui intègre exactement un polynôme de degré $2r-1$ |
| 428 |
|
\\ |
| 429 |
+ |
\begin{encadre2} |
| 430 |
+ |
\centering |
| 431 |
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} |
| 432 |
|
\hline |
| 433 |
|
\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Quadrature de Gauss-Legendre}}\\ |
| 455 |
|
& $\frac{\sqrt{245+14\sqrt{70}}}{35}$ & $\frac{322-13\sqrt{70}}{900}$ &\\ |
| 456 |
|
\hline |
| 457 |
|
\end{tabular} |
| 458 |
+ |
\end{encadre2} |
| 459 |
|
\end{itemize} |
| 460 |
|
Maintenant nous pouvons revenir au problème initial qui est le calcul de $\int_a^b f(x)dx$. |
| 461 |
|
On effectue un changement de variable |
| 490 |
|
&=&\frac{\pi}{8} \sin \frac{-\pi \sqrt{\frac{1}{3}}+\pi}{8}+\frac{\pi}{8} \sin \frac{\pi \sqrt{\frac{1}{3}}+\pi}{8}+\frac{\pi}{8} \sin \frac{-\pi \sqrt{\frac{1}{3}}+3\pi}{8}+\frac{\pi}{8} \sin \frac{\pi \sqrt{\frac{1}{3}}+3\pi}{8}\\ |
| 491 |
|
&=&0.99991017 |
| 492 |
|
\end{eqnarray*} |
| 493 |
+ |
\begin{encadre}{À retenir} |
| 494 |
+ |
Il est relativement aisé d'intégrer numériquement de manière précise. Au niveau de la dérivation cela est plus difficile. |
| 495 |
+ |
\end{encadre} |
| 496 |
+ |
\\[1cm] |
| 497 |
+ |
\begin{encadre}{Exercices} |
| 498 |
+ |
Exercices 1, 13,14,15,16,28,32,33 pages 341-346 du livre ($5^{ème}$ edition)\\ |
| 499 |
+ |
\end{encadre} |
