| 91 |
|
\subsubsection{Formule de différences finies pour $f'(x)$ } |
| 92 |
|
Les formules de différences finies qui permettent d'évaluer la dérivée d'une fonction en des points de mesures sont déduites des calculs précédents : |
| 93 |
|
\\ |
| 94 |
+ |
\begin{encadre2} |
| 95 |
+ |
\centering |
| 96 |
|
\begin{tabular}{|l|} |
| 97 |
|
\hline |
| 98 |
|
\textbf{Formules de différences finies d'ordre 1 pour $f'(x)$}\\ |
| 125 |
|
\hline |
| 126 |
|
|
| 127 |
|
\end{tabular} |
| 128 |
+ |
\end{encadre2} |
| 129 |
|
\subsection{Dérivée d'ordre supérieur} |
| 130 |
|
Les différences finies pour le calcul des dérivées d'ordre supérieur se fait de la même manière que pour les dérivées premières. Cependant l'ordre d'erreur est plus difficile à déterminer parce que le terme $E_n$ est difficile à dériver plusieurs fois. |
| 131 |
|
A la place on établit les formules des différences finies puis nous déterminons l'ordre en développant la formule des différences finies en série de Taylor pour obtenir la table suivante :\\ |
| 132 |
|
\\ |
| 133 |
+ |
\begin{encadre2} |
| 134 |
+ |
\centering |
| 135 |
|
\begin{tabular}{|l|} |
| 136 |
|
\hline |
| 137 |
|
\textbf{Formules de différences finies d'ordre 1 pour $f''(x)$}\\ |
| 169 |
|
Différence centrée d'ordre 2\\ |
| 170 |
|
\hline |
| 171 |
|
\end{tabular} |
| 172 |
< |
|
| 172 |
> |
\end{encadre2} |
| 173 |
|
|
| 174 |
|
\subsection{Erreur} |
| 175 |
|
L'ensemble des formules de différences finies fait intervenir l'écart entre les points d'interpolation $h$. On pourrait croire que plus $h$ diminue plus le calcul est précis. |
| 223 |
|
Q_{exa}&=&\frac{2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h)}{2^n-1}+\frac{ -\frac{1}{2}C_{n+1}\frac{h^{n+1}}{2} -\frac{3}{4}C_{n+2}\frac{h^{n+2}}{2^2} +...}{2^n-1}\\ |
| 224 |
|
&=&\frac{2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h)}{2^n-1}+O(h^{n+1})\\ |
| 225 |
|
\end{eqnarray*} |
| 226 |
+ |
\begin{encadre2} |
| 227 |
+ |
\begin{eqnarray*} |
| 228 |
+ |
Q_{exa}&=&\frac{2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h)}{2^n-1}+O(h^{n+1})\\ |
| 229 |
+ |
\end{eqnarray*} |
| 230 |
|
Le terme de droite est une approximation de la solution exacte $Q_{exa}$ d'ordre $n+1$. L'ordre de convergence a donc augmenté au moins de un. Selon les valeur de $C_{n+1}$ l'augmentation d'ordre pourrait être plus importante. |
| 231 |
+ |
\end{encadre2} |
| 232 |
|
\subsection{Exemple} |
| 233 |
|
On reprend l'exercice précédent et on effectue une extrapolation de Richardson. |
| 234 |
|
\\ |
| 392 |
|
\int_{-1}^11dx&=&w_1*1=[x]_{-1}^1=2\\ |
| 393 |
|
\int_{-1}^1xdx&=&w_1*x_1=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^1=0\\ |
| 394 |
|
\end{eqnarray*} |
| 395 |
< |
Il vient que $w_1=1$ et $x_1=0$ et qu'un polynôme de degré 1 est intégré de manière exact. |
| 395 |
> |
Il vient que $w_1=1$ et $x_1=0$ et qu'un polynôme de degré 1 est intégré de manière exacte. |
| 396 |
|
\item si $r=2$, on a |
| 397 |
|
\begin{eqnarray*} |
| 398 |
|
\int_{-1}^1f(x)dx=w_1f(x_1)+w_2f(x_2) |
| 426 |
|
On a donc $\int_{-1}^1f(x)dx=f\left(-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)+f\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$ et cette formule intègre exactement un polynôme de degré 3. |
| 427 |
|
\item en continuant avec des valeurs de r plus élevé on trouve la table d'intégration de Gauss Legendre qui intègre exactement un polynôme de degré $2r-1$ |
| 428 |
|
\\ |
| 429 |
+ |
\begin{encadre2} |
| 430 |
+ |
\centering |
| 431 |
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} |
| 432 |
|
\hline |
| 433 |
|
\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Quadrature de Gauss-Legendre}}\\ |
| 455 |
|
& $\frac{\sqrt{245+14\sqrt{70}}}{35}$ & $\frac{322-13\sqrt{70}}{900}$ &\\ |
| 456 |
|
\hline |
| 457 |
|
\end{tabular} |
| 458 |
+ |
\end{encadre2} |
| 459 |
|
\end{itemize} |
| 460 |
|
Maintenant nous pouvons revenir au problème initial qui est le calcul de $\int_a^b f(x)dx$. |
| 461 |
|
On effectue un changement de variable |
| 492 |
|
\end{eqnarray*} |
| 493 |
|
\begin{encadre}{À retenir} |
| 494 |
|
Il est relativement aisé d'intégrer numériquement de manière précise. Au niveau de la dérivation cela est plus difficile. |
| 495 |
< |
\end{encadre} |
| 495 |
> |
\end{encadre} |
