| 1 |
\section{Mise en situation} |
| 2 |
Dans le chapitre précédent, on a recherché une courbe passant par des points. En pratique, ces points sont souvent des points de mesure. Ce dernier chapitre a donc permis de trouver une fonction $f(x)$ qui passe exactement par ces points. |
| 3 |
Dans certaines applications, il peut être intéressant de connaître les fonctions dérivées ou les fonctions intégrales qui passent par ces points. |
| 4 |
\\Par exemple dans un GPS, l'appareil effectue des relevés de position. La vitesse de déplacement est alors la dérivée de la fonction $f(x)$ et l'accélération est alors la dérivée seconde de $f(x)$ tandis que la distance parcourue est l'intégrale de $f(x)$. |
| 5 |
Dans ce chapitre nous allons établir des formules qui permettent de connaître ces grandeurs sans forcement construire la fonction d'interpolation. |
| 6 |
\\Même si ces formules sont destinées à être utilisées sans construire la fonction d'interpolation, elles sont déduites de la fonction d'interpolation. |
| 7 |
\section{Différentiation numérique} |
| 8 |
Au chapitre précédent on a montré que l'on pouvait interpoler des points d'une fonction $f(x)$ et on |
| 9 |
\begin{eqnarray*} |
| 10 |
f(x)&=&p_n(x)+E_n(x)\\ |
| 11 |
E_n(x)&=&\frac{f^{(n+1)}(\zeta(x))}{(n+1)!}(x-x_0)...(x-x_n) |
| 12 |
\end{eqnarray*} |
| 13 |
$E_n(x)$ est le terme d'erreur d'ordre $n+1$ (il y a $n+1$ facteurs $x-x_i$). |
| 14 |
\subsection{Dérivée d'ordre 1} |
| 15 |
On peut calculer la dérivé d'ordre 1 $f'(x)$. |
| 16 |
\begin{eqnarray*} |
| 17 |
f'(x)&=&p'_n(x)+E'_n(x)\\ |
| 18 |
E'_n(x)&=&\frac{f^{(n+2)}(\zeta(x))\zeta'(x)}{(n+1)!}(x-x_0)...(x-x_n)+\frac{f^{(n+1)}(\zeta(x))}{(n+1)!}\left[(x-x_0)...(x-x_n)\right]'\\ |
| 19 |
&=&\frac{f^{(n+2)}(\zeta(x))\zeta'(x)}{(n+1)!}(x-x_0)...(x-x_n)+\frac{f^{(n+1)}(\zeta(x))}{(n+1)!}\left(\sum_{k=0}^{n}\prod_{j=0(j\ne k)}^n(x-x_j)\right) |
| 20 |
\end{eqnarray*} |
| 21 |
$E'_n(x)$ est le terme d'erreur de $f'(x)$. |
| 22 |
\\Pour simplifier le terme d'erreur nous allons calculer l'erreur en un point d'interpolation $x_i$. |
| 23 |
\begin{eqnarray*} |
| 24 |
E'_n(x_i)&=&\frac{f^{(n+1)}(\zeta(x_i))}{(n+1)!}\left(\prod_{j=0(j\ne i)}^n(x_i-x_j)\right) |
| 25 |
\end{eqnarray*} |
| 26 |
$E'_n(x)$ est le terme d'erreur. Il est d'ordre $n$ aux points $x_i$ (il y a $n$ facteurs $x-x_i$). |
| 27 |
\subsubsection{Approximation d'ordre 1 } |
| 28 |
Pour obtenir la dérivée première avec une approximation d'ordre 1, on doit poser $n=1$. On doit trouver un polynôme d'ordre $n=1$. Un polynome de degré 1 passe par 2 points $x_0$ et $x_1$: |
| 29 |
\begin{eqnarray*} |
| 30 |
p_1(x)&=&f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)\\ |
| 31 |
f(x)&=&p_1(x)+O(2)\\ |
| 32 |
f'(x)&=&p'_1(x)+O(1)\\ |
| 33 |
f'(x)&=&f[x_0,x_1]+O(1)\\ |
| 34 |
\end{eqnarray*} |
| 35 |
On fait l'évaluation en $x_0$ |
| 36 |
\begin{eqnarray*} |
| 37 |
f'(x_0)&=&f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\\ |
| 38 |
\end{eqnarray*} |
| 39 |
Cette expression est la différence avant d'ordre 1. |
| 40 |
\\On fait l'évaluation en $x_1$ |
| 41 |
\begin{eqnarray*} |
| 42 |
f'(x_1)&=&f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\\ |
| 43 |
\end{eqnarray*} |
| 44 |
Cette expression est la différence arrière d'ordre 1. |
| 45 |
|
| 46 |
|
| 47 |
\subsubsection{Approximation d'ordre 2 } |
| 48 |
Pour obtenir la dérivée première avec une approximation d'ordre 2, on doit poser $n=2$. On doit trouver un polynôme d'ordre $n=2$. Un polynôme de degré 2 passe par 3 points $x_0$, $x_1$ et $x_2$: |
| 49 |
\begin{eqnarray*} |
| 50 |
p_2(x)&=&f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)\\ |
| 51 |
f(x)&=&p_2(x)+O(3)\\ |
| 52 |
f'(x)&=&p'_2(x)+O(2)\\ |
| 53 |
f'(x)&=&f[x_0,x_1]+f[x_0,x_1,x_2](2x-x_0-x_1)+O(2)\\ |
| 54 |
\end{eqnarray*} |
| 55 |
On fait l'évaluation en $x_0$ et on suppose que $h=x_1-x_0=x_2-x_1$ |
| 56 |
\begin{eqnarray*} |
| 57 |
f'(x_0)&=&f[x_0,x_1]+f[x_0,x_1,x_2](x_0-x_1)\\ |
| 58 |
f'(x_0)&=&\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h}+\frac{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{h}-\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h}}{2h}(-h)\\ |
| 59 |
f'(x_0)&=&\frac{-3f(x_0)+4f(x_1)-f(x_2)}{2h}\\ |
| 60 |
\end{eqnarray*} |
| 61 |
Cette expression est la différence avant d'ordre 2. |
| 62 |
\\ |
| 63 |
On fait l'évaluation en $x_1$ et on suppose que $h=x_1-x_0=x_2-x_1$ |
| 64 |
\begin{eqnarray*} |
| 65 |
f'(x_1)&=&f[x_0,x_1]+f[x_0,x_1,x_2](x_1-x_0)\\ |
| 66 |
f'(x_1)&=&\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h}+\frac{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{h}-\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h}}{2h}h\\ |
| 67 |
f'(x_1)&=&\frac{-f(x_0)+f(x_2)}{2h}\\ |
| 68 |
\end{eqnarray*} |
| 69 |
Cette expression est la différence centrée d'ordre 2. |
| 70 |
\\ |
| 71 |
On fait l'évaluation en $x_2$ et on suppose que $h=x_1-x_0=x_2-x_1$ |
| 72 |
\begin{eqnarray*} |
| 73 |
f'(x_2)&=&f[x_0,x_1]+f[x_0,x_1,x_2](2x_2-x_0-x_1)\\ |
| 74 |
f'(x_2)&=&\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h}+\frac{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{h}-\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h}}{2h}(3h)\\ |
| 75 |
f'(x_2)&=&\frac{f(x_0)-4f(x_1)+f(x_2)}{2h}\\ |
| 76 |
\end{eqnarray*} |
| 77 |
Cette expression est la différence arrière d'ordre 2. |
| 78 |
\subsubsection{Formule de différences finies pour $f'(x)$ } |
| 79 |
Les formules de différences finies qui permettent d'évaluer la dérivée d'une fonction en des points de mesures sont déduites des calculs précédents : |
| 80 |
\\ |
| 81 |
\begin{tabular}{|l|} |
| 82 |
\hline |
| 83 |
\textbf{Formules de différences finies d'ordre 1 pour $f'(x)$}\\ |
| 84 |
\hline |
| 85 |
\\ |
| 86 |
$f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$\\ |
| 87 |
\\ |
| 88 |
Différence avant d'ordre 1\\ |
| 89 |
\hline |
| 90 |
\\ |
| 91 |
$f'(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$\\ |
| 92 |
\\ |
| 93 |
Différence arrière d'ordre 1\\ |
| 94 |
\hline |
| 95 |
\textbf{Formules de différences finies d'ordre 2 pour $f'(x)$}\\ |
| 96 |
\hline |
| 97 |
\\ |
| 98 |
$f'(x)=\frac{-f(x+2h)+4f(x+h)-3f(x)}{2h}$\\ |
| 99 |
\\ |
| 100 |
Différence avant d'ordre 2\\ |
| 101 |
\hline |
| 102 |
\\ |
| 103 |
$f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$\\ |
| 104 |
\\ |
| 105 |
Différence centrée d'ordre 2\\ |
| 106 |
\hline |
| 107 |
$f'(x)=\frac{3f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{2h}$\\ |
| 108 |
\\ |
| 109 |
Différence arrière d'ordre 2\\ |
| 110 |
\hline |
| 111 |
|
| 112 |
\end{tabular} |
| 113 |
\subsection{Dérivée d'ordre supérieur} |
| 114 |
Les différences finies pour le calcul des dérivées d'ordre supérieur se fait de la même manière que pour les dérivées premières. Cependant l'ordre d'erreur est plus difficile à déterminer parce que le terme $E_n$ est difficile à dériver plusieurs fois. |
| 115 |
A la place on établit les formules des différences finies puis nous déterminons l'ordre en développant la formule des différences finies en série de Taylor pour obtenir la table suivante :\\ |
| 116 |
\\ |
| 117 |
\begin{tabular}{|l|} |
| 118 |
\hline |
| 119 |
\textbf{Formules de différences finies d'ordre 1 pour $f''(x)$}\\ |
| 120 |
\hline |
| 121 |
\\ |
| 122 |
$f''(x)=\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2}$\\ |
| 123 |
\\ |
| 124 |
Différence avant d'ordre 1\\ |
| 125 |
\hline |
| 126 |
\\ |
| 127 |
$f''(x)=\frac{f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^2}$\\ |
| 128 |
\\ |
| 129 |
Différence arrière d'ordre 1\\ |
| 130 |
\hline |
| 131 |
\textbf{Formules de différences finies d'ordre 2 pour $f''(x)$}\\ |
| 132 |
\hline |
| 133 |
\\ |
| 134 |
$f''(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$\\ |
| 135 |
\\ |
| 136 |
Différence centrée d'ordre 2\\ |
| 137 |
\hline |
| 138 |
\textbf{Formules de différences finies d'ordre 4 pour $f''(x)$}\\ |
| 139 |
\hline |
| 140 |
\\ |
| 141 |
$f''(x)=\frac{-f(x+2h)+16f(x+h)-30f(x)+16f(x-h)-f(x-2h)}{12h^2}$\\ |
| 142 |
\\ |
| 143 |
Différence centrée d'ordre 4\\ |
| 144 |
\hline |
| 145 |
\hline |
| 146 |
\textbf{Formules de différences finies d'ordre 2 pour $f''''(x)$}\\ |
| 147 |
\hline |
| 148 |
\\ |
| 149 |
$f''''(x)=\frac{f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x)-4ff(x-h)+f(x-2h)}{h^4}$\\ |
| 150 |
\\ |
| 151 |
Différence centrée d'ordre 2\\ |
| 152 |
\hline |
| 153 |
\end{tabular} |
| 154 |
|
| 155 |
|
| 156 |
\subsection{Erreur} |
| 157 |
L'ensemble des formules de différences finies fait intervenir l'écart entre les points d'interpolation $h$. On pourrait croire que plus $h$ diminue plus le calcul est précis. |
| 158 |
En fait, ce n'est pas le cas parce que tous les dénominateurs sont en $h$ donc plus $h$ diminue plus la précision de calcul est affectée. De plus l'ensemble des différences finies s'approche de l'indéterminé $\frac{0}{0}$. Le processus de dérivation est un processus instable. |
| 159 |
\subsection{Exemple} |
| 160 |
Soit $f(x)=e^x$ que l'on veut dériver en $x=0$. Dans ce cas on sait que $f'(0)=e^0=1$. \\On veut vérifier la dérivation numérique et la comparer à la valeur théorique. |
| 161 |
\\ |
| 162 |
\\À l'ordre 1 on a \\ |
| 163 |
\\ |
| 164 |
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} |
| 165 |
\hline |
| 166 |
h & $f'(0)=\frac{e^h-1}{h}$ & erreur $E$ & $\frac{h_i}{h_{i-1}}$ & $\frac{E_i}{E_{i-1}}$ \\ |
| 167 |
\hline |
| 168 |
$0.1$ & $1.051709$ & $0.051709$ & & \\ |
| 169 |
$0.05$ & $1.0254219$ & $0.0254219$ & $0.5$ & $0.491633951$\\ |
| 170 |
$0.025$ & $1.012604821$ & $0.012604821$ & $0.5$ & $0.495825292$\\ |
| 171 |
\hline |
| 172 |
\end{tabular} |
| 173 |
\\ \\ |
| 174 |
Ceci confirme que l'on a une convergence d'ordre 1.\\ |
| 175 |
\\À l'ordre 2 on a \\ |
| 176 |
\\ |
| 177 |
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} |
| 178 |
\hline |
| 179 |
h & $f'(0)=\frac{e^h-e^{-h}}{2h}$ & erreur $E$ & $\frac{h_i}{h_{i-1}}$ & $\frac{E_i}{E_{i-1}}$ \\ |
| 180 |
\hline |
| 181 |
$0.1$ & $1.0016675$ & $0.0016675$ & & \\ |
| 182 |
$0.05$ & $1.000416719$ & $0.000416719$ & $0.5$ & $0.249906446=0.499906438^2$\\ |
| 183 |
$0.025$ & $1.00010417$ & $0.00010417$ & $0.5$ & $0.249976406=0.499976405^2$\\ |
| 184 |
\hline |
| 185 |
\end{tabular} |
| 186 |
\\ \\ |
| 187 |
Ceci confirme que l'on a une convergence d'ordre 2.\\ |
| 188 |
|
| 189 |
\section{Extrapolation de Richardson} |
| 190 |
\subsection{Construction de l'extrapolation de Richardson} |
| 191 |
L'extrapolation de Richardson est une technique qui permet d'augmenter la précision d'une approximation. Soit une approximation $Q_{app}(h)$ d'ordre $n$ résultant d'une quelconque méthode d'approximation. La solution exacte $Q_{exa}$ peut s'écrire : |
| 192 |
\begin{eqnarray*} |
| 193 |
Q_{exa}&=&Q_{app}(h)+O(h^n)\\ |
| 194 |
&=&Q_{app}(h)+C_nh^n+C_{n+1}h^{n+1}+C_{n+2}h^{n+2}+... |
| 195 |
\end{eqnarray*} |
| 196 |
où les différents coefficients $C$ sont dépendants de la méthode d'extrapolation. |
| 197 |
\\Calculons maintenant la valeur de l'approximation pour un pas de $\frac{h}{2}$ : |
| 198 |
\begin{eqnarray*} |
| 199 |
Q_{exa}&=&Q_{app}\left(\frac{h}{2}\right) +C_n \left( \frac{h}{2} \right)^n+C_{n+1}\left( \frac{h}{2} \right)^{n+1}+C_{n+2}\left( \frac{h}{2} \right)^{n+2}+...\\ |
| 200 |
2^nQ_{exa}&=&2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right) +C_nh^n +C_{n+1}\frac{h^{n+1}}{2} +C_{n+2}\frac{h^{n+2}}{2^2} +...\\ |
| 201 |
\end{eqnarray*} |
| 202 |
En soustrayant les deux dernières équations il vient |
| 203 |
\begin{eqnarray*} |
| 204 |
(2^n-1)Q_{exa}&=&2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h) -\frac{1}{2}C_{n+1}\frac{h^{n+1}}{2} -\frac{3}{4}C_{n+2}\frac{h^{n+2}}{2^2} +...\\ |
| 205 |
Q_{exa}&=&\frac{2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h)}{2^n-1}+\frac{ -\frac{1}{2}C_{n+1}\frac{h^{n+1}}{2} -\frac{3}{4}C_{n+2}\frac{h^{n+2}}{2^2} +...}{2^n-1}\\ |
| 206 |
&=&\frac{2^nQ_{app}\left(\frac{h}{2}\right)-Q_{app}(h)}{2^n-1}+O(h^{n+1})\\ |
| 207 |
\end{eqnarray*} |
| 208 |
Le terme de droite est une approximation de la solution exacte $Q_{exa}$ d'ordre $n+1$. L'ordre de convergence a donc augmenté au moins de un. Selon les valeur de $C_{n+1}$ l'augmentation d'ordre pourrait être plus importante. |
| 209 |
\subsection{Exemple} |
| 210 |
On reprend l'exercice précédent et on effectue une extrapolation de Richardson. |
| 211 |
\\ |
| 212 |
\\À l'ordre 1 on a \\ |
| 213 |
\\ |
| 214 |
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|} |
| 215 |
\hline |
| 216 |
h & $f'(0)=\frac{e^h-1}{h}$ &$\frac{2f'(h_i)-f'(h_{i-1})}{2-1}$ & erreur $E$ & $\frac{h_i}{h_{i-1}}$ & $\frac{E_i}{E_{i-1}}$ \\ |
| 217 |
\hline |
| 218 |
$0.1$ & $1.051709$ & & & & \\ |
| 219 |
$0.05$ & $1.0254219$ & $0.9991348$ & $-0.0008652$ & & \\ |
| 220 |
$0.025$ & $1.012604821$ & $0.9999787742$& $-0.000212258$ & $0.5$ & $0.245328247=0.495306216^2$\\ |
| 221 |
\hline |
| 222 |
\end{tabular} |
| 223 |
\\ \\ |
| 224 |
Ceci confirme que l'on a une convergence d'ordre 2.\\ |
| 225 |
\\À l'ordre 2 on a \\ |
| 226 |
\\ |
| 227 |
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|} |
| 228 |
\hline |
| 229 |
h & $f'(0)=\frac{e^h-e^{-h}}{2h}$&$\frac{2^2f'(h_i)-f'(h_{i-1})}{2^2-1}$ & erreur $E$ & $\frac{h_i}{h_{i-1}}$ & $\frac{E_i}{E_{i-1}}$ \\ |
| 230 |
\hline |
| 231 |
$0.1$ & $1.0016675$ & & & & \\ |
| 232 |
$0.05$ & $1.000416719$ & $0.999999792$ &$-0.000000208 $ & & \\ |
| 233 |
$0.025$ & $1.00010417$ & $0.999999987$ & $-0.000000013$& $0.5$ & $0.0625=0.5^4$\\ |
| 234 |
\hline |
| 235 |
\end{tabular} |
| 236 |
\\ \\ |
| 237 |
Dans ce cas on a une convergence d'ordre 4.\\Ceci est explicable puisque l'erreur des différences finies centrées d'ordre 2 comporte des termes d'erreur en puissance paire uniquement. Dans l'erreur de l'extrapolation de Richardson le terme $C_{n+1}$ est nul, l'ordre de convergence est donc augmenté de 2. |
| 238 |
\\ |
| 239 |
Dans le paragraphe précédent on a vu que la dérivation numérique est instable et que la diminution de $h$ ne permet pas d'augmenter forcement la précision de la méthode. En revanche une extrapolation de Richardson permet d'augmenter la précision sans diminuer $h$. |
| 240 |
\section{Intégration numérique} |
| 241 |
Au chapitre précédent on a montré que l'on pouvait interpoler des points d'une fonction $f(x)$ et on |
| 242 |
\begin{eqnarray*} |
| 243 |
f(x)&=&p_n(x)+E_n(x)\\ |
| 244 |
E_n(x)&=&\frac{f^{(n+1)}(\zeta(x))}{(n+1)!}(x-x_0)...(x-x_n) |
| 245 |
\end{eqnarray*} |
| 246 |
$E_n(x)$ est le terme d'erreur d'ordre $n+1$ (il y a $n+1$ facteurs $x-x_i$). |
| 247 |
Le problème de l'intégration revient à calculer |
| 248 |
\begin{eqnarray*} |
| 249 |
\int_{x_0}^{x_n} f(x)dx&=&\int_{x_0}^{x_n} p_n(x)dx+\int_{x_0}^{x_n} E_n(x)dx\\ |
| 250 |
\end{eqnarray*} |
| 251 |
|
| 252 |
\subsection{Formule de Newton-Cotes} |
| 253 |
\subsubsection{Méthode des trapèzes} |
| 254 |
La fonction est connue en deux points donc $n=1$ et on a |
| 255 |
\begin{eqnarray*} |
| 256 |
\int_{x_0}^{x_1} f(x)dx&=&\int_{x_0}^{x_1} p_1(x)dx+\int_{x_0}^{x_1} E_1(x)dx\\ |
| 257 |
E_1(x)&=&\frac{f''(\zeta(x))}{(2)!}(x-x_0)(x-x_1)\\ |
| 258 |
\int_{x_0}^{x_1} f(x)dx&=&\int_{x_0}^{x_1}\left( f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0) \right) dx+\int_{x_0}^{x_1}\frac{f''(\zeta(x))}{(2)!}(x-x_0)(x-x_1) dx\\ |
| 259 |
&=&\left[ f(x_0)x \right]_{x_0}^{x_1}+\left[ \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\frac{(x-x_0)^2}{2} \right]_{x_0}^{x_1}+\int_{x_0}^{x_1}\frac{f''(\zeta(x))}{(2)!}(x-x_0)(x-x_1) dx\\ |
| 260 |
&=& f(x_0)(x_1-x_0) +\frac{(f(x_1)-f(x_0)(x_1-x_0)}{2} +\int_{x_0}^{x_1}\frac{f''(\zeta(x))}{(2)!}(x-x_0)(x-x_1) dx\\ |
| 261 |
&=& (x_1-x_0)\frac{f(x_0)+f(x_1)}{2} +\int_{x_0}^{x_1}\frac{f''(\zeta(x))}{(2)!}(x-x_0)(x-x_1) dx\\ |
| 262 |
\end{eqnarray*} |
| 263 |
La partie du résultat de droite correspond à l'aire du trapèze qui est se situe sous le polynôme entre les points $x_0$ et $x_1$. Il reste le terme d'erreur à calculer. |
| 264 |
\begin{eqnarray*} |
| 265 |
E_1(x)&=&\int_{x_0}^{x_1} \frac{f''(\zeta(x))}{(2)!}(x-x_0)(x-x_1)dx\\ |
| 266 |
\end{eqnarray*} |
| 267 |
On effectue le changement de variable suivant |
| 268 |
\begin{eqnarray*} |
| 269 |
h&=&x_1-x_0\\ |
| 270 |
s&=&\frac{x-x_0}{h}\quad x=sh+x_0\\ |
| 271 |
dx&=&hds\\ |
| 272 |
\end{eqnarray*} |
| 273 |
et on obtient |
| 274 |
\begin{eqnarray*} |
| 275 |
E_1(x)&=&\int_{0}^{1} \frac{f''(\zeta(x))}{(2)!}sh^2(s-1)hds\\ |
| 276 |
&=&h^3\int_{0}^{1} \frac{f''(\zeta(x))}{2}s(s-1)ds=O(h^3)\\ |
| 277 |
\end{eqnarray*} |
| 278 |
La méthode des trapèzes a un ordre de convergence de 3. |
| 279 |
\\Exemple : |
| 280 |
On sait que $\int_0^\frac{\pi}{2}\sin x dx=1$. |
| 281 |
Le calcul de l'intégrale numérique donne |
| 282 |
\begin{eqnarray*} |
| 283 |
\int_0^\frac{\pi}{2}\sin x dx&=&(\frac{\pi}{2}-0)\frac{\sin \frac{\pi}{2}-\sin 0}{2}=\frac{\pi}{4} |
| 284 |
\end{eqnarray*} |
| 285 |
Ce calcul donne un très mauvais résultat. Le problème ne vient pas de la méthode d'intégration elle-même mais du fait que l'on a interpolé une fonction sinus avec un polynôme de degré 1. Pour améliorer le tout on peut découper l'intervalle en $n$ intervalle de largeur $h=\frac{b-a}{n}$ : |
| 286 |
\begin{eqnarray*} |
| 287 |
\int_a^b f(x)dx&=&\sum_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx\\ |
| 288 |
&=&\sum_{i=0}^{n-1}\frac{h}{2}\left( f(x_i)+f(x_{i+1})\right)\\ |
| 289 |
&=&\frac{h}{2}\left( f(x_0)+f(x_1)+f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)\right)\\ |
| 290 |
&=&\frac{h}{2}\left( f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+...+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right)\\ |
| 291 |
\end{eqnarray*} |
| 292 |
Le terme d'erreur devient |
| 293 |
\begin{eqnarray*} |
| 294 |
E_1(x)&=&\int_{a}^{b} \frac{f''(\zeta(x))}{(2)!}(x-x_0)(x-x_1)dx\\ |
| 295 |
&=&\sum_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}} \frac{f''(\zeta(x))}{(2)!}(x-x_0)(x-x_1)dx\\ |
| 296 |
&=&\sum_{i=0}^{n-1}h^3\int_{0}^{1} \frac{f''(\zeta(x))}{2}s(s-1)ds\\ |
| 297 |
&=&nh^3\int_{0}^{1} \frac{f''(\zeta(x))}{2}s(s-1)ds\\ |
| 298 |
&=&\frac{b-a}{h}h^3\int_{0}^{1} \frac{f''(\zeta(x))}{2}s(s-1)ds\\ |
| 299 |
&=&(b-a)h^2\int_{0}^{1} \frac{f''(\zeta(x))}{2}s(s-1)ds\\ |
| 300 |
&=&O(h^2) |
| 301 |
\end{eqnarray*} |
| 302 |
La méthode des trapèzes avec des intervalles a une convergence d'ordre 2. |
| 303 |
\\On revient au calcul de $\int_0^\frac{\pi}{2}\sin x dx$ |
| 304 |
\begin{itemize} |
| 305 |
\item avec 4 intervalles |
| 306 |
\begin{eqnarray*} |
| 307 |
h&=&\frac{\frac{\pi}{2}-0}{4}=\frac{\pi}{8}\\ |
| 308 |
\int_0^\frac{\pi}{2}\sin x dx&=&\frac{\pi}{16}\left(\sin 0+2\sin\frac{\pi}{8}+2\sin\frac{2\pi}{8}+2\sin\frac{3\pi}{8}+\sin\frac{4\pi}{8} \right)\\&=&0.9871158\\ |
| 309 |
\end{eqnarray*} |
| 310 |
|
| 311 |
\item avec 8 intervalles |
| 312 |
\begin{eqnarray*} |
| 313 |
h&=&\frac{\frac{\pi}{2}-0}{8}=\frac{\pi}{16}\\ |
| 314 |
\int_0^\frac{\pi}{2}\sin x dx&=&\frac{\pi}{32}(\sin 0+2\sin\frac{\pi}{16}+2\sin\frac{2\pi}{16}+2\sin\frac{3\pi}{16}+2\sin\frac{4\pi}{16}+\\& & 2\sin\frac{4\pi}{16}+2\sin\frac{5\pi}{16}+2\sin\frac{7\pi}{16}+\sin\frac{8\pi}{16} ) |
| 315 |
\\&=&0.9967852\\ |
| 316 |
\end{eqnarray*} |
| 317 |
\item L'erreur à 4 intervalles est $-0.0128842$ et l'erreur à 8 intervalles est $-0.0032148$ soit un rapport de $0.249514909=0.499514674^2$. Ce qui correspond à une convergence d'ordre 2. |
| 318 |
\end{itemize} |
| 319 |
|
| 320 |
\subsubsection{Méthode de Simpson $\frac{1}{3}$} |
| 321 |
On refait le même raisonnement que la méthode des trapèzes mais on applique sur le polynôme d'interpolation de degré 2 $p_2(x)$ qui nécessite donc trois points d'interpolation et on obtient |
| 322 |
\begin{eqnarray*} |
| 323 |
\int_{x_0}^{x_2} f(x)dx&=&\frac{h}{3}\left( f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2) \right)\\ |
| 324 |
\end{eqnarray*} |
| 325 |
avec une convergence d'ordre 5. |
| 326 |
\\La version avec division en $2n$ intervalles donne |
| 327 |
\begin{eqnarray*} |
| 328 |
\int_{a}^{b} f(x)dx&=&\frac{h}{3}\left( f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+...+2f(x_{2n-2})+4f(x_{2n-1})+f(x_{2n}) \right)\\ |
| 329 |
\end{eqnarray*} |
| 330 |
avec une convergence d'ordre 4. |
| 331 |
\\Exemple : On revient au calcul de $\int_0^\frac{\pi}{2}\sin x dx$ |
| 332 |
\begin{eqnarray*} |
| 333 |
\int_0^\frac{\pi}{2}\sin x dx=\frac{\frac{\frac{\pi}{2}-0}{2}}{3}(\sin 0 +4\sin \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{2})=1.002279877 |
| 334 |
\end{eqnarray*} |
| 335 |
|
| 336 |
\subsubsection{Méthode de Simpson $\frac{3}{8}$} |
| 337 |
On refait le même raisonnement que la méthode des trapèzes mais on applique sur le polynôme d'interpolation de degré 3 $p_3(x)$ qui nécessite donc quatre points d'interpolation et on obtient |
| 338 |
\begin{eqnarray*} |
| 339 |
\int_{x_0}^{x_3} f(x)dx&=&\frac{3h}{8}\left( f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3) \right)\\ |
| 340 |
\end{eqnarray*} |
| 341 |
avec une convergence d'ordre 5. |
| 342 |
\\La version avec division en $3n$ intervalles donne |
| 343 |
\begin{eqnarray*} |
| 344 |
\int_{a}^{b} f(x)dx&=&\frac{3h}{8}\left( f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+2f(x_3)+3f(x_4)+...+2f(x_{3n-3})+3f(x_{3n-2})+3f(x_{3n-1})+f(x_{3n}) \right)\\ |
| 345 |
\end{eqnarray*} |
| 346 |
avec une convergence d'ordre 4. |
| 347 |
\\Exemple : On revient au calcul de $\int_0^\frac{\pi}{2}\sin x dx$ |
| 348 |
\begin{eqnarray*} |
| 349 |
\int_0^\frac{\pi}{2}\sin x dx=\frac{3\frac{\frac{\pi}{2}-0}{3}}{8}(\sin 0 +3\sin \frac{\pi}{6}+3\sin \frac{2\pi}{6}+\sin \frac{3\pi}{6})=1.001004923 |
| 350 |
\end{eqnarray*} |
| 351 |
\subsection{Formule de Gauss-Legendre} |
| 352 |
Dans les formules de Newton-Cote, les points d'intégration sont fixés aux points d'interpolation. Dans la méthode de Gauss-Legendre on va chercher si d'autres points d'intégration permettent d'obtenir des résultats plus précis. |
| 353 |
On voudrait trouver les $x_i$ pour que |
| 354 |
\begin{eqnarray*} |
| 355 |
\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=1}^r w_if(x_i) |
| 356 |
\end{eqnarray*} |
| 357 |
où $r$ est le nombre de points de Gauss. On appelle cette expression la quadrature de Gauss-Legendre à $r$ points. Les $x_i$ sont appelés les points d'intégrations et les $w_i$ sont les poids d'intégration. |
| 358 |
Pour simplifier on s'intéresse tout d'abord à |
| 359 |
\begin{eqnarray*} |
| 360 |
\int_{-1}^1f(x)dx=\sum_{i=1}^r w_if(x_i) |
| 361 |
\end{eqnarray*} |
| 362 |
\begin{itemize} |
| 363 |
\item si $r=1$, on a |
| 364 |
\begin{eqnarray*} |
| 365 |
\int_{-1}^1f(x)dx=w_1f(x_1) |
| 366 |
\end{eqnarray*} |
| 367 |
Soit deux inconnues $w_1$ et $x_1$. Il faut donc deux équations pour résoudre le problème. On prends alors un polynôme de degré 0 et un degré 1 pour établir les équations. |
| 368 |
\begin{eqnarray*} |
| 369 |
\int_{-1}^11dx&=&w_1*1=[x]_{-1}^1=2\\ |
| 370 |
\int_{-1}^1xdx&=&w_1*x_1=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^1=0\\ |
| 371 |
\end{eqnarray*} |
| 372 |
Il vient que $w_1=1$ et $x_1=0$ et qu'un polynôme de degré 1 est intégré de manière exact. |
| 373 |
\item si $r=2$, on a |
| 374 |
\begin{eqnarray*} |
| 375 |
\int_{-1}^1f(x)dx=w_1f(x_1)+w_2f(x_2) |
| 376 |
\end{eqnarray*} |
| 377 |
Soit quatre inconnues $w_1$,$x_1$,$w_2$et$x_2$. Il faut donc quatre équations pour résoudre le problème. On prends alors des polynômes de degré 0,1,2 et 3 pour établir les équations. |
| 378 |
\begin{eqnarray*} |
| 379 |
\int_{-1}^11dx&=&w_1*1+w_2*1=[x]_{-1}^1=2\\ |
| 380 |
\int_{-1}^1xdx&=&w_1*x_1+w_2*x_2=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^1=0\\ |
| 381 |
\int_{-1}^1x^2dx&=&w_1*x_1^2+w_2*x_2^2=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1=\frac{2}{3}\\ |
| 382 |
\int_{-1}^1x^3dx&=&w_1*x_1^3+w_2*x_2^3=\left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^1=0\\ |
| 383 |
\end{eqnarray*} |
| 384 |
on obtient un système d'équations non linéaires |
| 385 |
\begin{eqnarray*} |
| 386 |
\left\{ |
| 387 |
\begin{array}{l} |
| 388 |
w_1+w_2=2\\ |
| 389 |
w_1x_1+w_2x_2=0\\ |
| 390 |
w_1x_1^2+w_2x_2^2=\frac{2}{3}\\ |
| 391 |
w_1x_1^3+w_2x_2^3=0\\ |
| 392 |
\end{array} \right. |
| 393 |
\end{eqnarray*} |
| 394 |
On multiplie la deuxième équation par $x_1^2$ et on la soustrait avec la quatrième, on obtient |
| 395 |
\begin{eqnarray*} |
| 396 |
w_2x_2x_1^2-w_2x_2^3=0\\ |
| 397 |
w_2x_2(x_1^2-x_2^2)=0\\ |
| 398 |
\end{eqnarray*} |
| 399 |
Cette dernière équation s'annule pour $x_1=-x_2$. en effet tout les autres cas d'annulation ($w_2=0$,$x_2=0$ et $x_1=x_2$) conduisent à une formule de Gauss à un point. Le deuxième équation devient alors $x_1(w_1-w_2)$ ce qui conduit à $w_1=w_2=1$ (d'après la première équation). |
| 400 |
\\ |
| 401 |
La troisième équation amène alors à $2x_1^2=\frac{2}{3}$ soit $x_1=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}$. |
| 402 |
\\On en déduit que $w_1=w_2=1$ et que $x_1=-\sqrt{\frac{1}{3}}$, $x_2=\sqrt{\frac{1}{3}}$ |
| 403 |
On a donc $\int_{-1}^1f(x)dx=f\left(-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)+f\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$ et cette formule intègre exactement un polynôme de degré 3. |
| 404 |
\item en continuant avec des valeurs de r plus élevé on trouve la table d'intégration de Gauss Legendre qui intègre exactement un polynôme de degré $2r-1$ |
| 405 |
\\ |
| 406 |
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} |
| 407 |
\hline |
| 408 |
\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Quadrature de Gauss-Legendre}}\\ |
| 409 |
\hline |
| 410 |
$r$ & $x_i$ & $w_i$ & Degré de précision\\ |
| 411 |
\hline |
| 412 |
$1$ & $0$ & $2$ & $1$\\ |
| 413 |
\hline |
| 414 |
$2$ & $-\sqrt{\frac{1}{3}}$ & $1$ & $3$\\ |
| 415 |
& $\sqrt{\frac{1}{3}}$ & $1$ &\\ |
| 416 |
\hline |
| 417 |
$3$ & $0$ & $\frac{8}{9}$ & $5$\\ |
| 418 |
& $-\frac{\sqrt{15}}{5}$ & $\frac{5}{9}$ & \\ |
| 419 |
& $\frac{\sqrt{15}}{5}$ & $\frac{5}{9}$ & \\ |
| 420 |
\hline |
| 421 |
$4$ & $-\frac{\sqrt{525+70\sqrt{30}}}{35}$ & $\frac{18-\sqrt{30}}{36}$ & $7$\\ |
| 422 |
& $-\frac{\sqrt{525-70\sqrt{30}}}{35}$ & $\frac{18+\sqrt{30}}{36}$ & \\ |
| 423 |
& $\frac{\sqrt{525-70\sqrt{30}}}{35}$ & $\frac{18+\sqrt{30}}{36}$ & \\ |
| 424 |
& $\frac{\sqrt{525+70\sqrt{30}}}{35}$ & $\frac{18-\sqrt{30}}{36}$ & \\ |
| 425 |
\hline |
| 426 |
$5$ & $0$ & $\frac{128}{225}$ & $9$\\ |
| 427 |
& $-\frac{\sqrt{245+14\sqrt{70}}}{35}$ & $\frac{322-13\sqrt{70}}{900}$ & \\ |
| 428 |
& $-\frac{\sqrt{245-14\sqrt{70}}}{35}$ & $\frac{322+13\sqrt{70}}{900}$ &\\ |
| 429 |
& $\frac{\sqrt{245-14\sqrt{70}}}{35}$ & $\frac{322+13\sqrt{70}}{900}$ &\\ |
| 430 |
& $\frac{\sqrt{245+14\sqrt{70}}}{35}$ & $\frac{322-13\sqrt{70}}{900}$ &\\ |
| 431 |
\hline |
| 432 |
\end{tabular} |
| 433 |
\end{itemize} |
| 434 |
Maintenant nous pouvons revenir au problème initial qui est le calcul de $\int_a^b f(x)dx$. |
| 435 |
On effectue un changement de variable |
| 436 |
\begin{eqnarray*} |
| 437 |
x&=&\frac{(b-a)t+(a+b)}{2}\\ |
| 438 |
dx&=&\frac{b-a}{2}dt |
| 439 |
\end{eqnarray*} |
| 440 |
et on obtient |
| 441 |
\begin{eqnarray*} |
| 442 |
\int_a^b f(x)dx&=&\frac{b-a}{2}\int_{-1}^1 f\left( \frac{(b-a)t+(a+b)}{2} \right) dt |
| 443 |
\end{eqnarray*} |
| 444 |
et on peut appliquer la quadrature de Gauss à la fonction $f$ avec le changement de variable de $x$ en $t$. |
| 445 |
\\Pour augmenter la précision on peut aussi diviser le calcul en plusieurs intervalles |
| 446 |
\begin{eqnarray*} |
| 447 |
\int_a^b f(x)dx&=&\sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) dx\\ |
| 448 |
&=&\sum_{i=0}^{n-1} \frac{x_{i+1}-x_i}{2} \int_{-1}^{1} f\left(\frac{(x_{i+1}-x_i)t+(x_{i+1}+x_i)}{2}\right) dt\\ |
| 449 |
&=&\sum_{i=0}^{n-1} \frac{x_{i+1}-x_i}{2} \sum_{j=1}^{r} w_jf\left(\frac{(x_{i+1}-x_i)t_j+(x_{i+1}+x_i)}{2}\right) |
| 450 |
\end{eqnarray*} |
| 451 |
\\ |
| 452 |
Exemple : On revient sur l'exemple de $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x dx$ et on utilise la quadrature à 2 points |
| 453 |
\begin{eqnarray*} |
| 454 |
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x dx&=&\frac{\frac{\pi}{2}-0}{2}\int_{-1}^1 \sin \frac{\pi t+\pi}{4} dt\\ |
| 455 |
&=&\frac{\pi}{4}\int_{-1}^1 \sin \frac{\pi t+\pi}{4} dt\\ |
| 456 |
&=&\frac{\pi}{4} \left( \sin \frac{-\frac{\pi}{\sqrt{3}}+\pi}{4}+\sin \frac{\frac{\pi}{\sqrt{3}}+\pi}{4}\right)\\ |
| 457 |
&=&0.998472 |
| 458 |
\end{eqnarray*} |
| 459 |
On fait le même calcul avec deux intervalles. |
| 460 |
\begin{eqnarray*} |
| 461 |
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x dx&=&\sum_{i=0}^{1} \frac{x_{i+1}-x_i}{2} \sum_{j=1}^{2} w_j\sin \frac{(x_{i+1}-x_i)t_j+(x_{i+1}+x_i)}{2}\\ |
| 462 |
&=&\frac{\frac{\pi}{4}-0}{2} \sum_{j=1}^{2} w_j\sin \frac{(\frac{\pi}{4}-0)t_j+(\frac{\pi}{4}+0)}{2}+\frac{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}}{2} \sum_{j=1}^{2} w_j\sin \frac{(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})t_j+(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})}{2}\\ |
| 463 |
&=&\frac{\pi}{8} \sum_{j=1}^{2} w_j\sin \frac{\pi t_j+\pi}{8}+\frac{\pi}{8} \sum_{j=1}^{2} w_j\sin \frac{\pi t_j+3\pi}{8}\\ |
| 464 |
&=&\frac{\pi}{8} \sin \frac{-\pi \sqrt{\frac{1}{3}}+\pi}{8}+\frac{\pi}{8} \sin \frac{\pi \sqrt{\frac{1}{3}}+\pi}{8}+\frac{\pi}{8} \sin \frac{-\pi \sqrt{\frac{1}{3}}+3\pi}{8}+\frac{\pi}{8} \sin \frac{\pi \sqrt{\frac{1}{3}}+3\pi}{8}\\ |
| 465 |
&=&0.99991017 |
| 466 |
\end{eqnarray*} |
