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\begin{encadre}{Objectif du chapitre} |
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Le calcul dérivé et intégrale est présent dans toutes les modélisations des problèmes d'ingénierie. En pratique, nous avons souvent des modèles sous forme de fonction ce qui rend l'intégration et la dérivation difficile. Dans ce chapitre, l'objectif est d'effectuer des dérivées et des intégrales sans connaître les expressions à dériver ou à intégrer. |
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\end{encadre} |
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\\[1cm] |
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\begin{encadre}{Connaissances antérieures nécessaires} |
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+ |
\begin{itemize} |
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\item les mathématiques : calcul différentiel, calcul intégral. |
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\item programmation de base en Basic ou C : les types, les opérations élémentaires et la structuration de programme en mode console |
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\end{itemize} |
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+ |
\end{encadre} |
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\section{Mise en situation} |
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Dans le chapitre précédent, on a recherché une courbe passant par des points. En pratique, ces points sont souvent des points de mesure. Ce dernier chapitre a donc permis de trouver une fonction $f(x)$ qui passe exactement par ces points. |
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Dans certaines applications, il peut être intéressant de connaître les fonctions dérivées ou les fonctions intégrales qui passent par ces points. |
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\end{eqnarray*} |
| 39 |
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$E'_n(x)$ est le terme d'erreur. Il est d'ordre $n$ aux points $x_i$ (il y a $n$ facteurs $x-x_i$). |
| 40 |
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\subsubsection{Approximation d'ordre 1 } |
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< |
Pour obtenir la dérivée première avec une approximation d'ordre 1, on doit poser $n=1$. On doit trouver un polynôme d'ordre $n=1$. Un polynome de degré 1 passe par 2 points $x_0$ et $x_1$: |
| 41 |
> |
Pour obtenir la dérivée première avec une approximation d'ordre 1, on doit poser $n=1$. On doit trouver un polynôme d'ordre $n=1$. Un polynôme de degré 1 passe par 2 points $x_0$ et $x_1$: |
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\begin{eqnarray*} |
| 43 |
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p_1(x)&=&f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)\\ |
| 44 |
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f(x)&=&p_1(x)+O(2)\\ |
| 85 |
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\begin{eqnarray*} |
| 86 |
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f'(x_2)&=&f[x_0,x_1]+f[x_0,x_1,x_2](2x_2-x_0-x_1)\\ |
| 87 |
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f'(x_2)&=&\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h}+\frac{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{h}-\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h}}{2h}(3h)\\ |
| 88 |
< |
f'(x_2)&=&\frac{f(x_0)-4f(x_1)+f(x_2)}{2h}\\ |
| 88 |
> |
f'(x_2)&=&\frac{f(x_0)-4f(x_1)+3f(x_2)}{2h}\\ |
| 89 |
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\end{eqnarray*} |
| 90 |
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Cette expression est la différence arrière d'ordre 2. |
| 91 |
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\subsubsection{Formule de différences finies pour $f'(x)$ } |
| 477 |
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&=&\frac{\pi}{8} \sin \frac{-\pi \sqrt{\frac{1}{3}}+\pi}{8}+\frac{\pi}{8} \sin \frac{\pi \sqrt{\frac{1}{3}}+\pi}{8}+\frac{\pi}{8} \sin \frac{-\pi \sqrt{\frac{1}{3}}+3\pi}{8}+\frac{\pi}{8} \sin \frac{\pi \sqrt{\frac{1}{3}}+3\pi}{8}\\ |
| 478 |
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&=&0.99991017 |
| 479 |
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\end{eqnarray*} |
| 480 |
+ |
\begin{encadre}{À retenir} |
| 481 |
+ |
Il est relativement aisé d'intégrer numériquement de manière précise. Au niveau de la dérivation cela est plus difficile. |
| 482 |
+ |
\end{encadre} |
