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\section{Définition} |
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Ce chapitre est un rappel sur la notation tensorielle qui est utilisée dans les cours GMC1016 élasticité et plasticité et GMC1034 Introduction à la méthode des éléments finis. |
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\\ |
| 4 |
Un tenseur est un outil mathématique qui permet de simplifier les écritures. Un tenseur s'écrit avec une lettre et des indices. Le nombre d'indices détermine l'ordre du tenseur. |
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\section{Tenseurs particuliers} |
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\subsection{Le tenseur de Kroneker} |
| 9 |
Le tenseur de Kroneker est le tenseur $\delta_{ij}$. |
| 10 |
Ce tenseur ayant deux indices il est d'ordre 2. |
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\\ |
| 12 |
\fbox{ |
| 13 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 14 |
\begin{eqnarray*} |
| 15 |
\delta_{ij}=1 \text{ si }i=j \\ |
| 16 |
\delta_{ij}=0 \text{ si }i \ne j |
| 17 |
\end{eqnarray*} |
| 18 |
\end{minipage}} |
| 19 |
|
| 20 |
\subsection{Le tenseur de permutation circulaire} |
| 21 |
Le tenseur de permutation circulaire est le tenseur d'ordre 3 : $\mu_{ijk}$ |
| 22 |
\\ |
| 23 |
\fbox{ |
| 24 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 25 |
\begin{eqnarray*} |
| 26 |
\mu_{ijk} &=& 1 \text{ si on parcourt les indices dans le sens positif} \\ |
| 27 |
\mu_{ijk} &=&-1 \text{ si on parcourt les indices dans le sens négatif} \\ |
| 28 |
\mu_{ijk} &=& 0 \text{ si deux indices sont identiques} \\ |
| 29 |
\end{eqnarray*} |
| 30 |
\end{minipage}} |
| 31 |
|
| 32 |
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| 33 |
\subsection{Le tenseur symétrique} |
| 34 |
Un tenseur symétrique est un tenseur d'ordre 2 tel que |
| 35 |
\\ |
| 36 |
\fbox{ |
| 37 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 38 |
\begin{equation*} |
| 39 |
T_{ij} = T_{ji} |
| 40 |
\end{equation*} |
| 41 |
\end{minipage}} |
| 42 |
|
| 43 |
\subsection{Le tenseur antisymétrique} |
| 44 |
Un tenseur antisymétrique est un tenseur d'ordre 2 tel que |
| 45 |
\\ |
| 46 |
\fbox{ |
| 47 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 48 |
\begin{eqnarray*} |
| 49 |
T_{ij} = -T_{ji} |
| 50 |
\end{eqnarray*} |
| 51 |
\end{minipage}} |
| 52 |
\section{Les opérateurs de tenseurs} |
| 53 |
\subsection{Convention de sommation} |
| 54 |
La convention de sommation est une répétition d'indice dans un tenseur ou dans un |
| 55 |
produit de tenseurs qui correspond implicitement à une sommation sur cet indice. |
| 56 |
\\ |
| 57 |
\fbox{ |
| 58 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 59 |
\begin{eqnarray*} |
| 60 |
A_{ij}B_{ij} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}.B_{ij} \text{ pour des matrice n par n}\\ |
| 61 |
\text{Par exemple on note le produit scalaire de deux vecteurs }\vec{U}\text{ et }\vec{V} \\ |
| 62 |
\vec{U}.\vec{V} = U_{i}V_{i} = \sum_{i=1}^{3}U_{i}.V_{i}\text{ (pour un vecteur à 3 composantes)} |
| 63 |
\end{eqnarray*} |
| 64 |
\end{minipage}} |
| 65 |
\\ |
| 66 |
\\ |
| 67 |
\emph{Le tenseur résultat d'une sommation a un degré de moins que les tenseurs ayant été sommés.} |
| 68 |
|
| 69 |
\subsection{Produit vectoriel} |
| 70 |
Le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ est |
| 71 |
\\ |
| 72 |
\fbox{ |
| 73 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 74 |
\begin{eqnarray*} |
| 75 |
W_{k}=\mu_{ijk}U_{i}V_{j} |
| 76 |
\end{eqnarray*} |
| 77 |
\end{minipage}} |
| 78 |
|
| 79 |
\subsection{Convention de dérivation} |
| 80 |
La dérivation est représentée par une virgule. |
| 81 |
\\ |
| 82 |
\fbox{ |
| 83 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 84 |
\begin{eqnarray*} |
| 85 |
T_{ij,kl} = \frac{\partial^{2} T_{ij}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} |
| 86 |
\end{eqnarray*} |
| 87 |
Par exemple pour la matrice des contraintes\\ |
| 88 |
\begin{eqnarray*} |
| 89 |
\sigma_{12,23} = \frac{\partial^{2} \tau_{12}}{\partial y\partial z} |
| 90 |
\end{eqnarray*} |
| 91 |
\end{minipage}} |
| 92 |
|
| 93 |
\subsection{Tenseur gradient d'un champ de scalaires} |
| 94 |
Le tenseur gradient d'un champ de scalaires donne un champ de vecteurs. |
| 95 |
\\ |
| 96 |
\fbox{ |
| 97 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 98 |
\begin{eqnarray*} |
| 99 |
T_{,i}= \overrightarrow{grad}(T)=\left\{ \begin{array}{rrrrr} \frac{\partial T}{\partial x} \\ \frac{\partial T}{\partial y} \\ \frac{\partial T}{\partial z} \end{array}\right\} |
| 100 |
\end{eqnarray*} |
| 101 |
\end{minipage}} |
| 102 |
\section{Tenseur gradient d'un champ de vecteurs} |
| 103 |
Le tenseur gradient d'un champ de vecteurs donne un champ de matrices. |
| 104 |
\\ |
| 105 |
\fbox{ |
| 106 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 107 |
\begin{eqnarray*} |
| 108 |
U_{i,j}= \overrightarrow{grad}(\vec{u})=\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z}\\ \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z}\end{bmatrix} |
| 109 |
\end{eqnarray*} |
| 110 |
\end{minipage}} |
| 111 |
|
| 112 |
\subsection{Tenseur divergence d'un champ de vecteurs} |
| 113 |
Le tenseur divergence d'un champ de vecteurs donne un champ de scalaires. |
| 114 |
\\ |
| 115 |
\fbox{ |
| 116 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 117 |
\begin{eqnarray*} |
| 118 |
V_{i,i} = div(\vec{V}) |
| 119 |
\end{eqnarray*} |
| 120 |
Par exemple pour pour le champ des déplacements \\ |
| 121 |
\begin{eqnarray*} |
| 122 |
U_{i,i}=div(\vec{U})=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z} |
| 123 |
\end{eqnarray*} |
| 124 |
\end{minipage}} |
| 125 |
|
| 126 |
\subsection{Tenseur divergence d'un champ de matrices} |
| 127 |
Le tenseur divergence d'un champ de matrices donne un champ de vecteurs (avec |
| 128 |
deux formulations) |
| 129 |
\\ |
| 130 |
\fbox{ |
| 131 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 132 |
\begin{eqnarray*} |
| 133 |
V_{j} = T_{ij,i} \text{ ou } V_{i} = T_{ij,j} |
| 134 |
\end{eqnarray*} |
| 135 |
Par exemple pour le champ des contraintes (il est symétrique) : |
| 136 |
\begin{eqnarray*} |
| 137 |
\sigma_{ij,j}=\sigma_{ij,i}=div(\sigma)=\left\{ \begin{array}{rrrrr} \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} \\ \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial z} \\ \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} \end{array}\right\} |
| 138 |
\end{eqnarray*} |
| 139 |
\end{minipage}} |
| 140 |
|
| 141 |
\subsection{Tenseur rotationnel d'un champ de vecteurs} |
| 142 |
Le tenseur rotationnel d'un champ de vecteurs donne un champ de vecteurs. |
| 143 |
\\ |
| 144 |
\fbox{ |
| 145 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 146 |
\begin{eqnarray*} |
| 147 |
W_{k}= \overrightarrow{rot}(\vec{V})=\mu_{ijk}V_{j,i} |
| 148 |
\end{eqnarray*} |
| 149 |
Par exemple pour le champ des déplacements : |
| 150 |
\begin{eqnarray*} |
| 151 |
W_{k}=\mu_{ijk}U_{j,i}=\left\{ \begin{array}{rrrrr} \frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z} \\ \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} \end{array}\right\} |
| 152 |
\end{eqnarray*} |
| 153 |
\end{minipage}} |
| 154 |
|
| 155 |
\subsection{Tenseur rotationnel d'une matrice} |
| 156 |
Le tenseur rotationnel d'une matrice donne une matrice avec deux formulations. |
| 157 |
\\ |
| 158 |
\fbox{ |
| 159 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 160 |
\begin{eqnarray*} |
| 161 |
W_{kl} = \mu_{ijk}T_{jl,i} \text{ ou } W_{kl} = \mu_{ijk}T_{lj,i} |
| 162 |
\end{eqnarray*} |
| 163 |
\end{minipage}} |
| 164 |
|
| 165 |
\subsection{Tenseur Laplacien d'un champ de scalaires} |
| 166 |
Le tenseur Laplacien d'un champ de scalaires donne un champ de scalaires. |
| 167 |
\\ |
| 168 |
\fbox{ |
| 169 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 170 |
\begin{eqnarray*} |
| 171 |
\Delta T=T_{,ii}=\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}T}{\partial z^{2}}=div(\overrightarrow{grad}(T)) |
| 172 |
\end{eqnarray*} |
| 173 |
\end{minipage}} |
| 174 |
|
| 175 |
\subsection{Décomposition d'un tenseur d'ordre 2} |
| 176 |
|
| 177 |
\fbox{ |
| 178 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 179 |
\begin{eqnarray*} |
| 180 |
M_{ij} & = &\frac{1}{2}M_{ij}+\frac{1}{2}M_{ij}+\frac{1}{2}M_{ji}-\frac{1}{2}M_{ji} \\ |
| 181 |
& = &\frac{1}{2}M_{ij}+\frac{1}{2}M_{ji}+\frac{1}{2}M_{ij}-\frac{1}{2}M_{ji} \\ |
| 182 |
& = & \frac{1}{2}S_{ij}+\frac{1}{2}A_{ij}\\ |
| 183 |
\end{eqnarray*} |
| 184 |
$S_{ij}$ est la partie symétrique de $M_{ij}$ \\ |
| 185 |
$A_{ij}$ est la partie antisymétrique de $M_{ij}$ |
| 186 |
\end{minipage}} |
| 187 |
|
| 188 |
\section{Quelques équations d'élasticité en notation tensorielle} |
| 189 |
|
| 190 |
\fbox{ |
| 191 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 192 |
\begin{eqnarray*} |
| 193 |
\epsilon_{ij} & = &\frac{1}{2}U_{i,j}+\frac{1}{2}U_{j,i} \text{ partie symétrique de } U_{i,j}\\ |
| 194 |
\sigma_{ij,j} & = & -f_{i}\\ |
| 195 |
\epsilon_{ij} & = &\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}+\alpha(T-T_{0})\delta_{ij}\\ |
| 196 |
\sigma_{ij} & = & \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\epsilon_{kk}\delta_{ij}+2G\epsilon_{ij} |
| 197 |
\end{eqnarray*} |
| 198 |
\end{minipage}} |
| 199 |
|
| 200 |
|
| 201 |
\section{Les équations de compatibilité} |
| 202 |
L'étude des déformations a été réalisée à partir des variations de déplacement. Techniquement parlant, il s'agit d'utiliser les outils de dérivation. |
| 203 |
A l'inverse si on obtient un état de déformations, cet état doit être intégré pour retrouver les déplacements.\\ |
| 204 |
\\Cette intégration s'ecrit |
| 205 |
\begin{eqnarray*} |
| 206 |
du_i & = &U_{i,j}dx_j\\ |
| 207 |
du_i & = & (S_{i,j}+ A_{i,j}) dx_j\\ |
| 208 |
du_i & = & (\epsilon_{ij}+ w_{ij}) dx_j\\ |
| 209 |
\end{eqnarray*} |
| 210 |
La partie $w_{i,j}$ est inconnue. On va exprimer ses dérivées pour trouver des conditions d'intégrabilité pour $\epsilon_{ij}$. |
| 211 |
\begin{eqnarray*} |
| 212 |
w_{ij}& = &\frac{1}{2}U_{i,j}-\frac{1}{2}U_{j,i}\\ |
| 213 |
w_{ij,l}& = &\frac{1}{2}U_{i,jl}-\frac{1}{2}U_{j,il}\\ |
| 214 |
w_{ij,l}& = &\frac{1}{2}U_{i,jl}-\frac{1}{2}U_{j,il}+\frac{1}{2}U_{l,ij}-\frac{1}{2}U_{l,ij}\\ |
| 215 |
w_{ij,l}& = &\frac{1}{2}(U_{i,jl}+U_{l,ij})-\frac{1}{2}(U_{j,il}+U_{l,ij})\\ |
| 216 |
w_{ij,l}& = &\epsilon_{il,j}-\epsilon_{jl,i}\\ |
| 217 |
\end{eqnarray*} |
| 218 |
% \fbox{ |
| 219 |
% \begin{minipage}{\textwidth} |
| 220 |
% Lemme |
| 221 |
% \\Soit la dérivation d'un tenseur |
| 222 |
% \begin{eqnarray*} |
| 223 |
% df&=&a_ldx_l\\ |
| 224 |
% a_l&=&f_{,l}\\ |
| 225 |
% \text{ d'ou } a_{l,m}&=&f_{,lm}\\ |
| 226 |
% \text{ et } a_{m,l}&=&f_{,ml}=f_{,lm}\\ |
| 227 |
% a_{l,m}&=&a_{m,l}\\ |
| 228 |
% \end{eqnarray*} |
| 229 |
% \end{minipage}} |
| 230 |
|
| 231 |
|
| 232 |
Si on dérive une nouvelle fois $w_{ij,l}$, on peut écrire |
| 233 |
\begin{eqnarray*} |
| 234 |
w_{ij,lk}&=&w_{ij,kl}\\ |
| 235 |
\epsilon_{il,jk}-\epsilon_{jl,ik}&=&\epsilon_{ik,jl}-\epsilon_{jk,il}\\ |
| 236 |
\end{eqnarray*} |
| 237 |
Nous obtenons une condition entre les termes de $\epsilon_{ij}$ pour que l'intégration des déformations en déplacement soit possible.\\ |
| 238 |
\fbox{ |
| 239 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 240 |
Pour que le tenseur des déformations soit intégrable en déplacement, il doit respecter les conditions de compatibilité |
| 241 |
\begin{eqnarray*} |
| 242 |
\epsilon_{il,jk}+\epsilon_{jk,il}&=&\epsilon_{ik,jl}+\epsilon_{jl,ik}\\ |
| 243 |
\end{eqnarray*} |
| 244 |
\end{minipage}} |
| 245 |
Cette relation donne $3^4=81$ (4 indices comptant de 1 à 3) équations.\\ |
| 246 |
En remarquant l'ensemble des symétries des indices : antisymétrie entre i et j et entre k et l et symétrie entre le couple (i,j) et le couple (k,l) on peut écrire l'équation de compatibilité sous la forme suivante (en faisant k=j pour annuler la symétrie de couple): |
| 247 |
\\ \fbox{ |
| 248 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 249 |
\begin{eqnarray*} |
| 250 |
\epsilon_{il,jj}+\epsilon_{jj,il}&=&\epsilon_{ij,jl}+\epsilon_{jl,ij}\\ |
| 251 |
\epsilon_{il,jj}+\epsilon_{jj,il}-\epsilon_{ij,jl}-\epsilon_{jl,ij}&=&0\\ |
| 252 |
\Delta\epsilon_{il}+\epsilon_{jj,il}-\epsilon_{ij,jl}-\epsilon_{jl,ij}&=&0\\ |
| 253 |
\text{où en permuttant les indices l avec j et j avec k on obtient }\\ |
| 254 |
\Delta\epsilon_{ij}+\epsilon_{kk,ij}-\epsilon_{ik,kj}-\epsilon_{kj,ik}&=&0\\ |
| 255 |
\end{eqnarray*} |
| 256 |
\end{minipage}} |
| 257 |
\\Écrite de cette manière les 81 équations se résume à 6 équations différentes. |
| 258 |
\\ |
| 259 |
Cette dernière équation existe en version contraintes pour le cas de l'élasticité. Ce sont les équations de Beltrami-Mitchell. Elles sont obtenues en introduisant la loi de Hooke et les équations d'équilibre dans la dernière équation. |
| 260 |
\\ \fbox{ |
| 261 |
\begin{minipage}{\textwidth} |
| 262 |
\begin{eqnarray*} |
| 263 |
\Delta \sigma_{ij}+\frac{1}{1+\nu}\sigma_{kk,ij}+\frac{\nu}{1-\nu}f_{k,k}\delta_{ij}+f_{i,j}+f_{j,i}=0 |
| 264 |
\end{eqnarray*} |
| 265 |
\end{minipage}} |
| 266 |
|
