document/GMC1016/plasticite.tex

La plasticité est un phénomène irréversible et non-linéaire de déformations. Il subsiste après avoir ôté les sollicitions.
\\
Le phénomène peut être désiré (mise en forme, laminage, emboutissage) ou non voulu (structure en service).
\\
Pour des températures basses (un quart de la température de fusion), le temps n'intervient pas. Pour les températures plus hautes, le phénomène supplémentaire de viscosité apparait.


\section{Aspect phénoménologiques}

L'élasticité correspond à une variation de longueur entre les atomes du réseau cristallin. La position des atomes ne changent pas dans le réseau. Le phénomène est un phénomène de dilatation.
\\
\begin{figure}[htb]
 \begin{center}
\includegraphics[bb=0 0 769 245,width=0.75\textwidth]{./plasticitedislocation.JPG}
\end{center}
\caption{Mouvement d'une dislocation coin}
\label{plasdis}
\end{figure} 
La plasticité correspond à un changement de positions d'atomes dans le réseau cristallin (figure \ref{plasdis}). En effet, des dislocations bougent sous l'effet d'une contrainte tangentielle locale.
Ce mouvement posséde plusieurs propriétés importantes : 
\begin{itemize}
 \item Le réseau est reformé après le passage de la dislocation. Les propriétés élastiques ne changent pas. La plasticité est un phénomène supplémentaire.
\item Les mouvements sont des glissements. Il n'y a pas de changement de volume.
\item Les nombreuses dislocations se multiplient en se propageant et créent des points de blocage qui augmentent la résistance à la déformation plastique (donc la limite élastique). Ceci amène à différencier deux cas :
\begin{itemize}
 \item L'écrouissage isotrope : le domaine d'élasticité augmente également en tension et en compression
\item L'écrouissage cinématique : le domaine d'élasticité évolue différemment en tension et en compression

\end{itemize}
\item L'énergie stockée par la déformation plastique au niveau des dislocations représente environ $10\%$ de l'énergie nécessaire pour créer une déformation plastique. Les $90\%$ restant se transforment en chaleur.
\end{itemize}
 
La courbe de traction du matériau doit être connu pour modéliser correctement le phénomène. Des simples propriétés comme en élasticité ne suffisent pas.

\subsection*{Coefficient de contraction plastique}
Une propriété est générale et ne se lit pas sur la courbe de traction, c'est le coefficient de contraction plastique $\nu_{p}$ équivalent du coefficient de Poisson en élasticité.

Comme la plasticité n'apporte pas de changement de volume on a 
\begin{eqnarray*}
\epsilon_{ii}^P=\epsilon_{ii}^D=0
\end{eqnarray*}
ou 
$\epsilon_{ij}^P$ est le tenseur des déformations plastiques\\
$\epsilon_{ij}^D$ est tenseur déviateur des déformations\\

Le calcul de $\nu_{P}$ mène alors à 
\begin{eqnarray*}
\epsilon_{ii}^P=0\\
\epsilon_{11}^P+\epsilon_{22}^P+\epsilon_{33}^P=0\\
\epsilon_{11}^P-\nu_{P}\epsilon_{11}^P-\nu_{P}\epsilon_{11}^P=0\\
\epsilon_{11}^P(1-2\nu_{P})=0\\
\nu_{P}=\frac{1}{2}\\
\end{eqnarray*}


\section{Loi de comportement plastique unidirectionnelle}
\sectionmark{Loi unidirectionnelle}
Comme le phénomène de plasticité s'ajoute à celui d'élasticité on obtient que les déformations élastiques s'ajoutent à celles plastiques : 
\begin{eqnarray*}
\epsilon=\epsilon_{e}+\epsilon_{p}\text{ et }\epsilon_{e}=\frac{\sigma}{E}
\end{eqnarray*}
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
 \includegraphics[bb=0 0 533 340,width=0.95\textwidth]{./plasticitecourbe.JPG}
 % plasticitecourbe.JPG: 710x453 pixel, 96dpi, 18.79x11.99 cm, bb=0 0 533 340
\caption{Courbe de traction}
\label{plascourbe}
\end{center}
\end{figure}


Pour la partie plastique et pour un écrouissage isotrope, on essaie de trouver une équation pour modéliser la courbe de traction (figure \ref{plascourbe}).
La solution trouvée la plus simple est 
\begin{eqnarray*}
\epsilon_{p}=(\frac{\sigma-\sigma_{y}}{K})^M\text{ si }\sigma>\sigma_{y}\\
\epsilon_{p}=0\text{ si }\sigma<=\sigma_{y}\\
\end{eqnarray*}
K et M sont des propriétés de chaque matériau qui dépendent de la température.\\
K et M sont identifiés depuis la courbe de traction.
\begin{eqnarray*}
\epsilon_{p}=(\frac{\sigma-\sigma_{y}}{K})^M\\
ln \epsilon_{p}=Mln(\sigma-\sigma_{y})-Mln K
\end{eqnarray*}
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
 \includegraphics[bb=0 0 459 416,width=0.8\textwidth]{./coefKM.JPG}
 % coefKM.JPG: 612x554 pixel, 96dpi, 16.19x14.66 cm, bb=0 0 459 416
\caption{Détermination des coefficients K et M}
\label{plasKM}
\end{center}
\end{figure}
Sur un diagramme log-log M est la pente de la droite $\epsilon_{p}$ en fonction de $\sigma-\sigma_{y}$
K peut ensuite être obtenu à partir d'un point situé sur la droite (figure \ref{plasKM}).
\\[0.5cm]
\emph{Si la courbe $\epsilon_{p}$ en fonction de $\sigma-\sigma_{y}$ n'est pas une droite sur un diagramme log-log, le modèle proposé pour modéliser la plasticité n'est pas le bon.}
\\[0.5cm]
\emph{$\sigma_{y}$ change de valeur dès que la plasticité est arrivée.}
\\ \\ \\ 
La figure \ref{plasKM} montre sur le fichier log-log la courbe peut être approximée par une droite. Cette droite passe par les points $(10,8.10^{-5})$ et $(100,7.10^{-3})$.
\\On a alors $M=\frac{ln 7.10^{-3}-ln 8.10^{-5}}{ln 100-ln 10}=1.94$
\\et $8.10^{-5}=(\frac{10}{K})^{1.94}$ d'ou $K=\frac{10}{{8.10^{-5}}^\frac{1}{1.94}}=1287MPa$

\subsection*{Étude de la variation de $\epsilon_{p}$ par rapport à celle de $\sigma_{p}$}
Calculons la variation de $\epsilon_{p}$ en fonction de celle de $\sigma_{p}$ : 
\begin{eqnarray*}
\frac{d\epsilon_{p}}{\epsilon_{p}} &  = & \frac{\frac{M}{K}(\frac{\sigma-\sigma_{y}}{K})^{M-1}d\sigma}{(\frac{\sigma-\sigma_{y}}{K})^M}\\
& = & \frac{Md\sigma}{\sigma-\sigma_{y}}\\
& = & \frac{M\sigma}{\sigma-\sigma_{y}}\frac{d\sigma}{\sigma}
\end{eqnarray*}
Si la contrainte est légérement supérieure à la limite élastique et que l'on se trouve dans le debut du domaine plastique on a par exemple $\sigma=1.01\sigma_{y}$ : 
\begin{eqnarray*}
\frac{d\epsilon_{p}}{\epsilon_{p}} &  = & M\frac{1.01\sigma_{y}}{1.01\sigma_{y}-\sigma_{y}}\frac{d\sigma}{\sigma}\\
& = & 101M\frac{d\sigma}{\sigma}
\end{eqnarray*}
Une légère variation de $\sigma$ entraine donc une forte variation de $\epsilon_{p}$.
\\
Or, il faut avoir à l'esprit que $\sigma_{y}$ est une valeur approchée obtenue le plus souvent par une méthode graphique. Il est donc nécessaire de faire preuve de grande prudence avec la modélisation du comportement plastique.

 
\section{Loi de comportement plastique tridimentionnelle à écrouissage isotrope}
\sectionmark{Écrouissage isotrope}
Lorsque le chargement est 3D, il est nécessaire de connaitre la manière dont le chargement à été appliqué parce que l'état de déformations en dépend.
De ce fait la loi de comportement ne peut être qu'incrémentale.\\
La plasticité étant du aux mouvements des dislocations, elles-même dues à la contrainte de cisaillement, la contrainte hydrostatique n'influe pas sur le phénomène de plasticité. La loi incrémentale doit donc faire intervenir le tenseur déviateur des contraintes $\sigma_{ij}^D=\sigma_{ij}-\sigma_{ii}\delta_{ij}$ et le tenseur des déformations plastiques $\epsilon_{ij}^P=\epsilon_{ij}^D=\epsilon_{ij}-\epsilon_{ii}\delta_{ij}$
\\
De plus en isotropie, les directions principales des contraintes et des déformations sont les mêmes. Les contraintes et les déformations (et les déviateurs) peuvent être liées par un scalaire.
\\D'après ces constatations on définit la loi de comportement telle que 
\begin{eqnarray*}
d\epsilon_{ij}^P=\sigma_{ij}^Dd\lambda
\end{eqnarray*}

\subsection{Grandeurs équivalentes}
Pour calculer cette loi de comportement incrémentale, on essaye de faire intervenir le cas 1D qui est le seul cas connu. Le cas 1D se traite de façon scalaire alors que le cas 3D est tensoriel d'ordre 2.
Il faut pour cela trouver une équivalence entre les deux cas. Pour cela, nous allons passer par le calcul de l'énergie de déformation plastique $de_{p}$ : 
\begin{eqnarray*}
de_{p}=\sigma_{ij}d\epsilon_{ij}^P=(\sigma_{ij}^D+\sigma_{ii}\delta_{ij})d\epsilon_{ij}^P=\sigma_{ij}^Dd\epsilon_{ij}^P
\end{eqnarray*}
Pour identifier avec le cas 1D on aimerait obtenir : 
\begin{eqnarray*}
de_{p}=\sigma_{eq}dp
\end{eqnarray*}
ou \\
$\sigma_{eq}$ est une contrainte scalaire équivalente  au niveau énergétique au cas 1D.\\
$p$ est une déformation scalaire équivalente  au niveau énergétique au cas 1D.\\

En 1D on a $\sigma_{eq}=\sigma_{11}$ et $dp=d\epsilon_{11}^P$\\

Calcul de $\sigma_{eq}$ et de $p$ en 3D : 
\begin{eqnarray*}
d\epsilon_{ij}^P & = &\sigma_{ij}^Dd\lambda\\
d\epsilon_{ij}^Pd\epsilon_{ij}^P & = &\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D(d\lambda)^2\\
(d\lambda)^2 & = &\frac{d\epsilon_{ij}^Pd\epsilon_{ij}^P}{\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D}\\
\text{d'où } d\epsilon_{ij}^P & = &\sigma_{ij}^D(\frac{d\epsilon_{ij}^Pd\epsilon_{ij}^P}{\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D})^\frac{1}{2}\\
\text{d'où } de_{p} & = &\sigma_{ij}^Dd\epsilon_{ij}^P=\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D(\frac{d\epsilon_{ij}^Pd\epsilon_{ij}^P}{\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D})^\frac{1}{2}\\
& = &(\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D)^\frac{1}{2}(d\epsilon_{ij}^Pd\epsilon_{ij}^P)^\frac{1}{2}\\
\text{D'autre part }de_{p}&=&\sigma_{eq}dp
\end{eqnarray*}
Or en traction simple on connait les états de contraintes et de déformations : 
\begin{eqnarray*}
\sigma_{ij}&=&\begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\text{ et }\sigma_{ij}^D=\sigma_{11}\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}\\
d\epsilon_{ij}^P&=&d\epsilon_{11}^P\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
On en déduit que 
\begin{eqnarray*}
\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D&=&\sigma_{11}^2(\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9})=\frac{2}{3}\sigma_{11}^2\\
d\epsilon_{ij}^Pd\epsilon_{ij}^P&=&d\epsilon_{11}^2(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4})=\frac{3}{2}d\epsilon_{11}^2\\
\end{eqnarray*}
On conclut alors que 
\begin{eqnarray*}
\sigma_{eq}&=&\sigma_{11}=\sqrt{\frac{3}{2}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D}\\
dp&=&d\epsilon_{11}^P=\sqrt{\frac{2}{3}d\epsilon_{ij}^Pd\epsilon_{ij}^P}
\end{eqnarray*}

$\sigma_{eq}$ est connu sous le nom de la contrainte équivalente de Von Mises. Il est important de noter la façon dont elle a été trouvée pour connaitre sa limite de validité. Il est classique d'utiliser cette contrainte sans connaitre sa signification.
\\ \emph{La contrainte de Von Mises notée $\sigma_{eq}$ ou $\sigma_{VM}$ est une contrainte équivalente 1D équivalente au niveau énergie à un état de contraintes 3D en isotropie.}
\subsection{Loi d'évolution de Prandtl-Reuss}
A l'aide des grandeurs équivalentes on peut maintenant identifier la loi de comportement 3D $d\epsilon_{ij}^P=\sigma_{ij}^Dd\lambda$ avec la loi 1D $\epsilon_{p}=(\frac{\sigma-\sigma_{y}}{K})^M$.
Premièrement transformons la loi 1D en loi incrémentale : 
\begin{eqnarray*}
d\epsilon_{p}=\frac{M}{K}(\frac{\sigma-\sigma_{y}}{K})^{M-1}d\sigma
\end{eqnarray*}
soit avec les valeurs équivalentes
\begin{eqnarray*}
dp=\frac{M}{K}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_{y}}{K})^{M-1}d\sigma_{eq}
\end{eqnarray*}
On identifie avec 
\begin{eqnarray*}
d\epsilon_{ij}^P&=&\sigma_{ij}^Dd\lambda\\
\text{où } d\lambda&=&(\frac{d\epsilon_{ij}^Pd\epsilon_{ij}^P}{\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D})^\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}dp}{\sqrt{\frac{2}{3}}\sigma_{eq}}=\frac{3}{2}\frac{dp}{\sigma_{eq}}\\
\text{où } d\epsilon_{ij}^P&=&\sigma_{ij}^Dd\lambda=\sigma_{ij}^D\frac{3}{2}\frac{dp}{\sigma_{eq}}=\sigma_{ij}^D\frac{3}{2}\frac{M}{K}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_{y}}{K})^{M-1}\frac{d\sigma_{eq}}{\sigma_{eq}}
\end{eqnarray*}


\fbox{
\begin{minipage}{\textwidth}
En synthétisant tout le chapitre, la loi de comportement plastique  de Prandtl-Reuss 3D s'écrit : 
\begin{eqnarray}
\epsilon_{ij}&=&\epsilon_{ij}^e+\epsilon_{ij}^p\\
\epsilon_{ij}^e&=&\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}\\
\label{eqplas1}d\epsilon_{ij}^p&=&\frac{3}{2}\frac{M}{K}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_{s}}{K})^{M-1}\frac{d\sigma_{eq}}{\sigma_{eq}}\sigma_{ij}^D \text{ si }\sigma_{eq}>\sigma_{s}\\
\label{eqplas2}d\epsilon_{ij}^p&=&0\text{ si }\sigma_{eq}<\sigma_{s}\\
\sigma_{s}(x,y,z)&=&\sigma_{y}\text{ au début }\\
\sigma_{s}(x,y,z)&=&\sigma_{eq}(x,y,z)\text{ si }\sigma_{eq}\text{ devient plus grand que }\sigma_{s}
\end{eqnarray}
\end{minipage}
}


\subsection{Loi d'intégration de Hencky-Mises}
Pour résoudre un problème comportant de la plasticité, il est nécessaire de connaitre l'évolution des chargements en fonction du temps afin de pouvoir utiliser les relations \ref{eqplas1} et  \ref{eqplas2}.
\\Dans la loi d'intégration de Hencky-Mises, l'hypothèse est de dire que l'ensemble des chargements est appliqué simultanément de manière proportionnelle.
\\
Ainsi on peut écrire
\begin{eqnarray}
 \sigma_{ij}^D=S_{ij}^Da_{p}
\end{eqnarray}
où\\
$a_{p}$ est un scalaire\\
$S_{ij}^D$ est un tenseur incrément de contraintes constant\\
Le calcul de $\sigma_{eq}$ permet de calculer $a_{p}$ : 
\begin{eqnarray*}
 \sigma_{eq}^2&=&\frac{3}{2}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D=\frac{3}{2}S_{ij}^Da_{p}S_{ij}^Da_{p}\\
a_{p}^2&=&\frac{\sigma_{eq}^2}{\frac{3}{2}S_{ij}^DS_{ij}^D}=\frac{\sigma_{eq}^2}{S_{eq}^2}\\
a_{p}&=&\frac{\sigma_{eq}}{S_{eq}}\\
\end{eqnarray*}
Le calcul de $\epsilon_{ij}^p$ peut alors s'effectuer
\begin{eqnarray*}
\epsilon_{ij}^p&=&\int d\epsilon_{ij}^p=\int \frac{3}{2}\frac{M}{K}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_{y}}{K})^{M-1}\frac{d\sigma_{eq}}{\sigma_{eq}}\sigma_{ij}^D\\
&=&\int\frac{3}{2}\frac{M}{K}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_{y}}{K})^{M-1}\frac{d\sigma_{eq}}{\sigma_{eq}}S_{ij}^Da_{p}\\
&=&\int\frac{3}{2}\frac{M}{K}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_{y}}{K})^{M-1}\frac{d\sigma_{eq}}{\sigma_{eq}}S_{ij}^D\frac{\sigma_{eq}}{S_{eq}}\\
&=&\frac{S_{ij}^D}{S_{eq}}\int\frac{3}{2}\frac{M}{K}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_{y}}{K})^{M-1}d\sigma_{eq}\\
&=&\frac{S_{ij}^D}{S_{eq}}\frac{3}{2}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_{y}}{K})^{M}\\
&=&\frac{S_{ij}^Da_{p}}{S_{eq}a_{p}}\frac{3}{2}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_{y}}{K})^{M}\\
&=&\frac{3}{2}\frac{\sigma_{ij}^D}{\sigma_{eq}}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_{y}}{K})^{M}\\
\end{eqnarray*}
Nous obtenons la loi de comportement plastique avec chargement proportionnel. Notons notamment qu'il n'y a pas de cycle de charge décharge dans cette loi ce qui explique que $\sigma_{y}$ demeure dans la loi.
\subsection{Limite de la modélisation}
Ce traitement relativement simple du phénomène de plasticité comporte plusieurs hypothèses : 
\begin{itemize}
 \item Une loi de plasticité à deux variables a été utilisée. La précision de cette loi est plus ou moins importante.
\item La régle d'intégration est simple et peu réaliste. Tous les efforts varient selon la même linéarité.
\item A haute température, il y a apparition de viscosité sous forme de fluage. $\epsilon_{ij}^P$ varie en fonction du temps.
\item Le chargement est statique : chaque charge est appliquée une seule fois ce qui permet d'utiliser une loi d'écrouissage isotrope.
\end{itemize}

\section{Chargement cyclique}
Dans le cas d'un chargement cyclique (figure \ref{plascycl}), il y a apparition de l'effet Bauschinger : c'est la diminution de la valeur absolue de la limite d'élasticité en compression après une traction dans le domaine plastique.
La limite d'élasticité ne varie pas de la même manière en compression et en traction. Nous sommes obligés de prendre une loi d'écrouissage cinématique.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
 \includegraphics[bb=0 0 489 373,width=0.95\textwidth]{./plasticitecyclique.JPG}
 % plasticitecyclique.JPG: 652x497 pixel, 96dpi, 17.25x13.15 cm, bb=0 0 489 373
\caption{Essai de traction avec chargement cyclique}
\label{plascycl}
\end{center}
\end{figure}


La figure \ref{plascycl} montre que le centre du domaine élastique évolue en fonction de la déformation. On modélise cette évolution par la contrainte de rappel $X$ qui est relié de manière expérimentale à $\epsilon_{p}$ par la relations

\begin{eqnarray*}
X=C\epsilon_{p}
\end{eqnarray*}
où $C$ est le paramètre d'écrouissage cinématique linéaire de Prager qui s'identifie sur la courbe de traction cyclique.
\\L'étude plastique précédente est réalisée en faisant un changement de variable pour ramener le centre du domaine élastique à 0 et une équation supplémentaire est ajoutée pour suivre le décalage $X$.
On obtient ainsi la loi de comportement en plasticité suivante (pour le cas 3D $X$ devient le tenseur des contraintes de rappel): \\
\fbox{
\begin{minipage}{\textwidth}

\begin{eqnarray*}
\text{Partition des déformations : }\epsilon_{ij}&=&\epsilon_{ij}^e+\epsilon_{ij}^p\\
\text{Élasticité : }\epsilon_{ij}^e&=&\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}\\
\text{Plasticité : }d\epsilon_{ij}^p&=&\frac{9}{4C}\frac{\sigma_{ij}^D-X_{ij}^D}{(\sigma-X)_{eq}^2}(\sigma_{kl}^D-X_{kl}^D)d\sigma_{kl}\\
\text{Écrouissage : }dX_{ij}&=&\frac{2}{3}Cd\epsilon_{ij}^p
\end{eqnarray*}
\end{minipage}}
\section{Critère de ruine}
Le critère de ruine est la manière de choisir la limite de fonctionnement d'une pièce lors de sa conception.
En général en fonctionnement, le critère consiste à déterminer si une pièce reste dans son domaine élastique alors qu'en mise en forme on s'intéressera plutôt à la limite à la rupture afin de pouvoir modéliser une mise en forme prédéterminée.
\subsection{Limite d'élasticité}
La conception à la limite d'élasticité consiste à déterminer le moment où la plasticité apparait. En 1D, cela correspond à la définition de la limite élastique. Il faut établir l'équivalent en 3D.
\subsubsection{critère de Tresca}
Le critère de Tresca consiste à dire que la limite d'élasticité est atteinte lorsque la plus grande contrainte tangentielle est égale à la valeur évaluée en traction simple.
Sachant que $\sigma_{1}\geq\sigma_{2}\geq\sigma_{3}$,  $\tau_{max}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}$ et que en traction simple on a $\tau_{max}=\frac{\sigma_{11}}{2}$ alors le critère de Tresca à la limite élastique s'écrit 
\begin{eqnarray*}
\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}&\le&\frac{\sigma_{y}}{2}\\
\sigma_{1}-\sigma_{3}&\le&\sigma_{y}
\end{eqnarray*}
\subsubsection{critère de Von Mises}
Le critère de Von Mises consiste à calculer la densité  volumique d'énergie de distorsion et de considérer que la limite élastique correspond au même niveau énergétique que lors de l'essai de traction.
La densité d'énergie de distorsion est 
\begin{eqnarray*}
e_{e}^D=\frac{E}{2(1+\nu)}\epsilon_{ij}^D\epsilon_{ij}^D=\frac{1+\nu}{2E}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D
\end{eqnarray*}
En traction pure on a alors
\begin{eqnarray*}
\sigma_{ij}^D&=&\sigma_{11}\begin{pmatrix}\frac{2}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-1}{3}     \end{pmatrix}\\
e_{e}^D&=&\frac{1+\nu}{2E}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D=\frac{1+\nu}{2E}\sigma_{11}^2(\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9})\\
&=&\frac{1+\nu}{3E}\sigma_{11}^2
\end{eqnarray*}
En égalant les deux énergies et en en se plaçant à la contrainte élastique $\sigma_{y}$, on en déduit que 
\begin{eqnarray*}
\frac{1+\nu}{2E}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D&=&\frac{1+\nu}{3E}\sigma_{y}^2\\
\sigma_{y}^2&=&\frac{3}{2}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D\\
\sigma_{y}&=&\sqrt{\frac{3}{2}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D}
\end{eqnarray*}
On trouve que la limite d'élasticité est équivalente à la contrainte de Von Mises $\sigma_{VM}$.\\
La conception à la densité volumique d'énergie consiste à comparer la contrainte de Von Mises avec les valeurs référence en traction simple.\\
Cette contrainte introduite en plasticité trouve également une grande importance en élasticité. Pour faciliter les calculs, il est souhaitable d'obtenir également sa valeur en fonction de $\sigma_{ij}$ :
\begin{eqnarray*}
\sigma_{VM}&=&\sqrt{\frac{3}{2}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D}\\
&=&\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{11}-\sigma_{22})^2+(\sigma_{33}-\sigma_{22})^2+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^2+6(\sigma_{12}^2+\sigma_{13}^2+\sigma_{23}^2)]}
\end{eqnarray*}


\subsection{Limite à la rupture}
La limite à la rupture est guidée par l'ensemble des contraintes élastiques puisqu'une le comportement élastique perdure après le début de la plasticité. La rupture est donc atteinte lorsque l'énergie élastique totale est équivalente à l'énergie élastique totale en traction pure à la rupture.
\\On a 
\begin{eqnarray*}
e_{e}=e_{e}^D+e_{e}^H=\frac{1}{2}(\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D+3\frac{1-2\nu}{E}\sigma_{H}^2)
\end{eqnarray*}
En traction pure on a à la rupture
\begin{eqnarray*}
e_{e}=\frac{\sigma_{u}^2}{2E}
\end{eqnarray*}
En égalent les 2 on en déduit que 
\begin{eqnarray*}
e_{e}=\frac{1}{2}(\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D+3\frac{1-2\nu}{E}\sigma_{H}^2)=\frac{\sigma_{u}^2}{2E}\\
\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D+3\frac{1-2\nu}{E}\sigma_{H}^2=\frac{\sigma_{u}^2}{E}\\
\frac{1+\nu}{E}\frac{2}{3}\sigma_{VM}^2+3\frac{1-2\nu}{E}\sigma_{H}^2=\frac{\sigma_{u}^2}{E}\\
\sigma_{VM}^2((1+\nu)\frac{2}{3}+3(1-2\nu)\frac{\sigma_{H}^2}{\sigma_{VM}^2})=\sigma_{u}^2\\
\end{eqnarray*}
On introduit la contrainte équivalente d'endommagement $\sigma^*$ pour le calcul à la rupture :
\begin{eqnarray*}
\sigma^*=\sigma_{VM}\sqrt{(1+\nu)\frac{2}{3}+3(1-2\nu)\frac{\sigma_{H}^2}{\sigma_{VM}^2}}\\
\end{eqnarray*}


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