| 1 |
\section{Exercices} |
| 2 |
\subsection{Exercice 1} |
| 3 |
\subsubsection{Enoncé} |
| 4 |
Calculez les déformations élasto-plastiques d'un cylindre mince sous pression constante. La matrice des contraintes vaut |
| 5 |
\begin{equation*} |
| 6 |
\sigma_{ij}= |
| 7 |
\begin{pmatrix} |
| 8 |
\frac{PR}{2e} & 0 & 0 \\ |
| 9 |
0 & \frac{PR}{e} & 0 \\ |
| 10 |
0 & 0 & 0 \\ |
| 11 |
\end{pmatrix} |
| 12 |
\end{equation*} |
| 13 |
Déterminez la matrice des déformations à l'aide de la loi intégrée de Hencky-Mises valable en chargement croissant, puis les variations permanentes de longueur, de rayon et d'épaisseur du cylindre. |
| 14 |
|
| 15 |
\subsubsection{Solution} |
| 16 |
La matrice des déformations vaut |
| 17 |
\begin{equation*} |
| 18 |
\epsilon_{ij}=\epsilon_{ij}^e+\epsilon_{ij}^p |
| 19 |
\end{equation*} |
| 20 |
$\epsilon_{ij}^e$ est donnée par la loi de Hook |
| 21 |
\begin{equation*} |
| 22 |
\epsilon_{ij}^e=\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij} |
| 23 |
\end{equation*} |
| 24 |
$\epsilon_{ij}^p$ est donnée par la loi d'intégration de Henky-Mises |
| 25 |
\begin{equation*} |
| 26 |
\epsilon_{ij}^p=\frac{3\sigma_{ij}^D}{2\sigma_{eq}}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_y}{K})^M |
| 27 |
\end{equation*} |
| 28 |
Les calculs des différents termes sont |
| 29 |
\begin{equation*} |
| 30 |
\sigma_{kk}=\frac{PR}{2e}+\frac{PR}{e}=\frac{3PR}{2e} |
| 31 |
\end{equation*} |
| 32 |
\begin{equation*} |
| 33 |
\sigma_{ij}^D=\sigma_{ij}-\frac{1}{3}\sigma_{kk}= |
| 34 |
\begin{pmatrix} |
| 35 |
0 & 0 & 0 \\ |
| 36 |
0 & \frac{PR}{2e} & 0 \\ |
| 37 |
0 & 0 & \frac{-PR}{2e} \\ |
| 38 |
\end{pmatrix} |
| 39 |
\end{equation*} |
| 40 |
\begin{equation*} |
| 41 |
\sigma_{eq}^2=\frac{3}{2}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D=\frac{3}{2}(\frac{P^2R^2}{4e^2}+\frac{P^2R^2}{4e^2})=3\frac{P^2R^2}{4e^2} |
| 42 |
\end{equation*} |
| 43 |
\begin{equation*} |
| 44 |
\sigma_{eq}=\sqrt{3}\frac{PR}{2e} |
| 45 |
\end{equation*} |
| 46 |
Les déformations peuvent alors être calculées : |
| 47 |
\begin{equation*} |
| 48 |
\epsilon_{ij}^e= |
| 49 |
\begin{pmatrix} |
| 50 |
\frac{1-2\nu}{E}\frac{PR}{2e} & 0 & 0 \\ |
| 51 |
0 & \frac{2-\nu}{E}\frac{PR}{2e} & 0 \\ |
| 52 |
0 & 0 & \frac{-3\nu PR}{2Ee} \\ |
| 53 |
\end{pmatrix} |
| 54 |
\end{equation*} |
| 55 |
\begin{equation*} |
| 56 |
\epsilon_{ij}^p=\frac{\sqrt{3}e}{PR}(\frac{\frac{\sqrt{3}PR}{2e}-\sigma_y}{K})^M |
| 57 |
\begin{pmatrix} |
| 58 |
0 & 0 & 0 \\ |
| 59 |
0 & \frac{PR}{2e} & 0 \\ |
| 60 |
0 & 0 & \frac{-PR}{2e} \\ |
| 61 |
\end{pmatrix} |
| 62 |
\end{equation*} |
| 63 |
La longueur du cylindre est selon l'axe 1 donc sa variation de longueur permanente est donnée par $\epsilon_{11}^p$ qui est nulle. |
| 64 |
\\ |
| 65 |
Le variation permanente d'épaisseur et de rayon est donnée par la direction 2 ou 3 : |
| 66 |
\begin{equation*} |
| 67 |
\frac{\delta e}{e}=\frac{\delta R}{R}=\epsilon_{22}^p=\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\frac{\sqrt{3}PR}{2e}-\sigma_y}{K})^M |
| 68 |
\end{equation*} |
| 69 |
|
| 70 |
\subsection{Exercice 2} |
| 71 |
\subsubsection{Enoncé} |
| 72 |
Mise en forme sur un marteau-pilon ou une presse d'une gorge dans une plaque par poinçonnnement plastique. Calculez la force nécessaire pour réaliser une gorge de longueur $L$ et de largeur $l$ et de profondeur $h$ dans une plaque d'épaisseur $e$. La condition $L>>l>>e$ permet de considérer, à cause des frottements que la déformation $\epsilon_{22}$ dans la direction $x_2$ de l'axe de la gorge est négligeable devant les déformations $\epsilon_{33}$ dans le sens de l'épaisseur et $\epsilon_{11}$. |
| 73 |
|
| 74 |
|
| 75 |
|
| 76 |
|
| 77 |
\subsubsection{Solution} |
| 78 |
\begin{center} |
| 79 |
\includegraphics[width=10cm,bb=0 0 349 155]{./solmatlab/exerciceplasticite.jpg} |
| 80 |
% exerciceplasticite.jpg: 465x206 pixel, 96dpi, 12.30x5.45 cm, bb=0 0 349 155 |
| 81 |
\end{center} |
| 82 |
Les déformations nécessaire pour obtenir la forme désirées sont $\epsilon_{33}^P=-\frac{h}{e}$ |
| 83 |
\\Comme $\epsilon_{22}^p=0$ et que $\epsilon_{ii}^p=0$ alors $\epsilon_{11}^p=\frac{h}{e}$ |
| 84 |
\\Donc |
| 85 |
\begin{equation*} |
| 86 |
\epsilon_{ij}^p= |
| 87 |
\begin{pmatrix} |
| 88 |
\frac{h}{e} & 0 & 0 \\ |
| 89 |
0 & 0 & 0 \\ |
| 90 |
0 & 0 & \frac{-h}{e} \\ |
| 91 |
\end{pmatrix} |
| 92 |
\end{equation*} |
| 93 |
Les contraintes sont donc de la forme |
| 94 |
\begin{equation*} |
| 95 |
\sigma_{ij}^D= |
| 96 |
\begin{pmatrix} |
| 97 |
-\sigma_{33}^D & 0 & 0 \\ |
| 98 |
0 & 0 & 0 \\ |
| 99 |
0 & 0 & \sigma_{33}^D \\ |
| 100 |
\end{pmatrix} |
| 101 |
\end{equation*} |
| 102 |
La relation de plasticité selon l'intégration de Henky-Mises est alors |
| 103 |
\begin{equation*} |
| 104 |
\epsilon_{33}^p=\frac{3}{2}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_y}{K})^M\frac{\sigma_{33}^D}{\sigma_{eq}} |
| 105 |
\end{equation*} |
| 106 |
En calculant |
| 107 |
\begin{equation*} |
| 108 |
\sigma_{eq}=\sqrt{\frac{3}{2}((\sigma_{33}^D)^2+(\sigma_{33}^D)^2)}=\sqrt{3}\sigma_{33}^D |
| 109 |
\end{equation*} |
| 110 |
il vient |
| 111 |
\begin{equation*} |
| 112 |
\epsilon_{33}^p=\frac{3}{2}(\frac{\sqrt{3}\sigma_{33}^D-\sigma_y}{K})^M\frac{\sigma_{33}^D}{\sqrt{3}\sigma_{33}^D}=\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\sqrt{3}\sigma_{33}^D-\sigma_y}{K})^M |
| 113 |
\end{equation*} |
| 114 |
soit |
| 115 |
\begin{equation*} |
| 116 |
\frac{\sqrt{3}\sigma_{33}^D-\sigma_y}{K}=\arrowvert \frac{2}{\sqrt{3}}\epsilon_{33}^p\arrowvert^\frac{1}{M} |
| 117 |
\end{equation*} |
| 118 |
\begin{equation*} |
| 119 |
\sigma_{33}^D=\frac{1}{\sqrt{3}}(K\arrowvert \frac{2}{\sqrt{3}}\epsilon_{33}^p\arrowvert^\frac{1}{M}+\sigma_y) |
| 120 |
\end{equation*} |
| 121 |
\begin{equation*} |
| 122 |
\sigma_{33}^D=-\frac{1}{\sqrt{3}}[K( \frac{2h}{\sqrt{3}e})^\frac{1}{M}+\sigma_y] |
| 123 |
\end{equation*} |
| 124 |
Le résultat final est |
| 125 |
\begin{equation*} |
| 126 |
\sigma_{ij}^D=\frac{1}{\sqrt{3}}[K( \frac{2h}{\sqrt{3}e})^\frac{1}{M}+\sigma_y] |
| 127 |
\begin{pmatrix} |
| 128 |
1 & 0 & 0 \\ |
| 129 |
0 & 0 & 0 \\ |
| 130 |
0 & 0 & -1 \\ |
| 131 |
\end{pmatrix} |
| 132 |
\end{equation*} |
| 133 |
\subsection{Exercice 3} |
| 134 |
\subsubsection{Enoncé} |
| 135 |
Soit un état de contrainte en ($MPa$) en un point d'une pièce d'acier de propriétés $E=210GPa$, $\nu=0.3$, $R_e=300MPa$ et $R_m=350MPa$. |
| 136 |
\begin{equation*} |
| 137 |
\sigma_{ij}= |
| 138 |
\begin{pmatrix} |
| 139 |
200 & 30 & 0\\ |
| 140 |
30 & -120 & 0\\ |
| 141 |
0 & 0 & 20\\ |
| 142 |
\end{pmatrix} |
| 143 |
\end{equation*} |
| 144 |
\begin{enumerate} |
| 145 |
\item Pour l'état de contrainte donné, le comportement du matériau est-il élastique selon le critère de Tresca ? |
| 146 |
\item Pour l'état de contrainte donné, le comportement du matériau est-il élastique selon le critère de Von Mises ? |
| 147 |
\item Le même état de contrainte est appliqué sur un autre acier de propriétés $E=210GPa$, $\nu=0.3$, $R_e=50MPa$ et $R_m=270MPa$. Est-ce que la matériau a atteint la rupture ? |
| 148 |
|
| 149 |
\end{enumerate} |
| 150 |
|
| 151 |
\subsubsection{Solution} |
| 152 |
\subsubsection{Programme MATLAB des calculs} |
| 153 |
\verbatiminput{./solmatlab/ruine.m} |
| 154 |
\subsubsection{Résultat} |
| 155 |
\verbatiminput{./solmatlab/ruine.sol} |
| 156 |
Conclusion de l'exercice : |
| 157 |
\begin{enumerate} |
| 158 |
\item La contrainte de tresca vaut $325MPa$ et est supérieure à $R_e$. Le matériau est donc en plasticité selon Tresca. |
| 159 |
\item La contrainte de Von Mises vaut $282MPa$ et est inférieur à $R_e$. Le matériau est donc en élasticité selon Von Mises. |
| 160 |
\item L contrainte équivalente de rupture est $265MPa$ et est inférieur à $R_m$. Le matériau n'a pas rompu. |
| 161 |
\end{enumerate} |
