document/GMC1016/exerciceplasticite.tex

\section{Exercices}
\subsection{Exercice 1}
\subsubsection{Enoncé}
Calculez les déformations élasto-plastiques d'un cylindre mince sous pression constante. La matrice des contraintes vaut 
\begin{equation*}
\sigma_{ij}=
\begin{pmatrix}
\frac{PR}{2e} & 0 & 0 \\ 
0 & \frac{PR}{e}    &  0 \\ 
0 & 0 & 0   \\ 
\end{pmatrix}  
\end{equation*}
Déterminez la matrice des déformations à l'aide de la loi intégrée de Hencky-Mises valable en chargement croissant, puis les variations permanentes de longueur, de rayon et d'épaisseur du cylindre.

\subsubsection{Solution}
La matrice des déformations vaut 
\begin{equation*}
\epsilon_{ij}=\epsilon_{ij}^e+\epsilon_{ij}^p
\end{equation*}
$\epsilon_{ij}^e$ est donnée par la loi de Hook
\begin{equation*}
\epsilon_{ij}^e=\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}
\end{equation*}
$\epsilon_{ij}^p$ est donnée par la loi d'intégration de Henky-Mises
\begin{equation*}
\epsilon_{ij}^p=\frac{3\sigma_{ij}^D}{2\sigma_{eq}}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_y}{K})^M
\end{equation*}
Les calculs des différents termes sont
\begin{equation*}
\sigma_{kk}=\frac{PR}{2e}+\frac{PR}{e}=\frac{3PR}{2e}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sigma_{ij}^D=\sigma_{ij}-\frac{1}{3}\sigma_{kk}=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\ 
0 & \frac{PR}{2e}    &  0 \\ 
0 & 0 & \frac{-PR}{2e}   \\ 
\end{pmatrix}  
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sigma_{eq}^2=\frac{3}{2}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D=\frac{3}{2}(\frac{P^2R^2}{4e^2}+\frac{P^2R^2}{4e^2})=3\frac{P^2R^2}{4e^2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sigma_{eq}=\sqrt{3}\frac{PR}{2e}
\end{equation*}
Les déformations peuvent alors être calculées :
\begin{equation*}
\epsilon_{ij}^e=
\begin{pmatrix}
\frac{1-2\nu}{E}\frac{PR}{2e} & 0 & 0 \\ 
0 & \frac{2-\nu}{E}\frac{PR}{2e}    &  0 \\ 
0 & 0 & \frac{-3\nu PR}{2Ee}  \\ 
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\epsilon_{ij}^p=\frac{\sqrt{3}e}{PR}(\frac{\frac{\sqrt{3}PR}{2e}-\sigma_y}{K})^M
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\ 
0 & \frac{PR}{2e}    &  0 \\ 
0 & 0 & \frac{-PR}{2e}   \\ 
\end{pmatrix}
\end{equation*}
La longueur du cylindre est selon l'axe 1 donc sa variation de longueur permanente est donnée par $\epsilon_{11}^p$ qui est nulle.
\\
Le variation permanente d'épaisseur et de rayon est donnée par la direction 2 ou 3 :
\begin{equation*}
\frac{\delta e}{e}=\frac{\delta R}{R}=\epsilon_{22}^p=\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\frac{\sqrt{3}PR}{2e}-\sigma_y}{K})^M
\end{equation*}

\subsection{Exercice 2}
\subsubsection{Enoncé}
Mise en forme sur un marteau-pilon ou une presse d'une gorge dans une plaque par poinçonnnement plastique. Calculez la force nécessaire pour réaliser une gorge de longueur $L$ et de largeur $l$ et de profondeur $h$ dans une plaque d'épaisseur $e$. La condition $L>>l>>e$ permet de considérer, à cause des frottements que la déformation $\epsilon_{22}$ dans la direction $x_2$ de l'axe de la gorge est négligeable devant les déformations $\epsilon_{33}$ dans le sens de l'épaisseur et $\epsilon_{11}$. 


\subsubsection{Solution}
\begin{center}
 \includegraphics[width=10cm,bb=0 0 349 155]{./solmatlab/exerciceplasticite.jpg}
 % exerciceplasticite.jpg: 465x206 pixel, 96dpi, 12.30x5.45 cm, bb=0 0 349 155
\end{center}
Les déformations nécessaire pour obtenir la forme désirées sont $\epsilon_{33}^P=-\frac{h}{e}$
\\Comme $\epsilon_{22}^p=0$ et que $\epsilon_{ii}^p=0$ alors $\epsilon_{11}^p=\frac{h}{e}$
\\Donc
\begin{equation*}
\epsilon_{ij}^p=
\begin{pmatrix}
\frac{h}{e} & 0 & 0 \\ 
0 & 0    &  0 \\ 
0 & 0 & \frac{-h}{e}   \\ 
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Les contraintes sont donc de la forme
\begin{equation*}
\sigma_{ij}^D=
\begin{pmatrix}
-\sigma_{33}^D & 0 & 0 \\ 
0 & 0    &  0 \\ 
0 & 0 & \sigma_{33}^D   \\ 
\end{pmatrix}
\end{equation*}
La relation de plasticité selon l'intégration de Henky-Mises est alors 
\begin{equation*}
\epsilon_{33}^p=\frac{3}{2}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_y}{K})^M\frac{\sigma_{33}^D}{\sigma_{eq}} 
\end{equation*}
En calculant 
\begin{equation*}
\sigma_{eq}=\sqrt{\frac{3}{2}((\sigma_{33}^D)^2+(\sigma_{33}^D)^2)}=\sqrt{3}\sigma_{33}^D 
\end{equation*}
il vient
\begin{equation*}
\epsilon_{33}^p=\frac{3}{2}(\frac{\sqrt{3}\sigma_{33}^D-\sigma_y}{K})^M\frac{\sigma_{33}^D}{\sqrt{3}\sigma_{33}^D}=\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\sqrt{3}\sigma_{33}^D-\sigma_y}{K})^M
\end{equation*}
soit
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{3}\sigma_{33}^D-\sigma_y}{K}=\arrowvert \frac{2}{\sqrt{3}}\epsilon_{33}^p\arrowvert^\frac{1}{M}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sigma_{33}^D=\frac{1}{\sqrt{3}}(K\arrowvert \frac{2}{\sqrt{3}}\epsilon_{33}^p\arrowvert^\frac{1}{M}+\sigma_y)
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sigma_{33}^D=-\frac{1}{\sqrt{3}}[K( \frac{2h}{\sqrt{3}e})^\frac{1}{M}+\sigma_y]
\end{equation*}
Le résultat final est 
\begin{equation*}
\sigma_{ij}^D=\frac{1}{\sqrt{3}}[K( \frac{2h}{\sqrt{3}e})^\frac{1}{M}+\sigma_y]
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0    &  0 \\ 
0 & 0 & -1   \\ 
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\subsection{Exercice 3}
\subsubsection{Enoncé}
Soit un état de contrainte en ($MPa$) en un point d'une pièce d'acier de propriétés $E=210GPa$, $\nu=0.3$, $R_e=300MPa$ et $R_m=350MPa$.
\begin{equation*}
\sigma_{ij}=
\begin{pmatrix}
200 & 30 & 0\\ 
30 & -120 & 0\\ 
0 & 0 & 20\\ 
\end{pmatrix} 
\end{equation*}
\begin{enumerate}
 \item Pour l'état de contrainte donné, le comportement du matériau est-il élastique selon le critère de Tresca ?
 \item Pour l'état de contrainte donné, le comportement du matériau est-il élastique selon le critère de Von Mises ?
 \item Le même état de contrainte est appliqué sur un autre acier de propriétés $E=210GPa$, $\nu=0.3$, $R_e=50MPa$ et $R_m=270MPa$. Est-ce que la matériau a atteint la rupture ?

\end{enumerate}

\subsubsection{Solution}
\subsubsection{Programme MATLAB des calculs}
\verbatiminput{./solmatlab/ruine.m}
\subsubsection{Résultat}
\verbatiminput{./solmatlab/ruine.sol}
Conclusion de l'exercice : 
\begin{enumerate}
 \item La contrainte de tresca vaut $325MPa$ et est supérieure à $R_e$. Le matériau est donc en plasticité selon Tresca.
 \item La contrainte de Von Mises vaut $282MPa$ et est inférieur à $R_e$. Le matériau est donc en élasticité selon Von Mises.
 \item L contrainte équivalente de rupture est $265MPa$ et est inférieur à $R_m$. Le matériau n'a pas rompu.
\end{enumerate}
Revision:	949
Committed:	Wed Aug 8 14:03:21 2018 UTC (6 years, 9 months ago) by francois
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#	User	Rev	Content
1	francois	941	\section{Exercices}
2			\subsection{Exercice 1}
3			\subsubsection{Enoncé}
4			Calculez les déformations élasto-plastiques d'un cylindre mince sous pression constante. La matrice des contraintes vaut
5			\begin{equation*}
6			\sigma_{ij}=
7			\begin{pmatrix}
8			\frac{PR}{2e} & 0 & 0 \\
9			0 & \frac{PR}{e} & 0 \\
10			0 & 0 & 0 \\
11			\end{pmatrix}
12			\end{equation*}
13			Déterminez la matrice des déformations à l'aide de la loi intégrée de Hencky-Mises valable en chargement croissant, puis les variations permanentes de longueur, de rayon et d'épaisseur du cylindre.
14
15			\subsubsection{Solution}
16			La matrice des déformations vaut
17			\begin{equation*}
18			\epsilon_{ij}=\epsilon_{ij}^e+\epsilon_{ij}^p
19			\end{equation*}
20			$\epsilon_{ij}^e$ est donnée par la loi de Hook
21			\begin{equation*}
22			\epsilon_{ij}^e=\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}
23			\end{equation*}
24			$\epsilon_{ij}^p$ est donnée par la loi d'intégration de Henky-Mises
25			\begin{equation*}
26			\epsilon_{ij}^p=\frac{3\sigma_{ij}^D}{2\sigma_{eq}}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_y}{K})^M
27			\end{equation*}
28			Les calculs des différents termes sont
29			\begin{equation*}
30			\sigma_{kk}=\frac{PR}{2e}+\frac{PR}{e}=\frac{3PR}{2e}
31			\end{equation*}
32			\begin{equation*}
33			\sigma_{ij}^D=\sigma_{ij}-\frac{1}{3}\sigma_{kk}=
34			\begin{pmatrix}
35			0 & 0 & 0 \\
36			0 & \frac{PR}{2e} & 0 \\
37			0 & 0 & \frac{-PR}{2e} \\
38			\end{pmatrix}
39			\end{equation*}
40			\begin{equation*}
41			\sigma_{eq}^2=\frac{3}{2}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D=\frac{3}{2}(\frac{P^2R^2}{4e^2}+\frac{P^2R^2}{4e^2})=3\frac{P^2R^2}{4e^2}
42			\end{equation*}
43			\begin{equation*}
44			\sigma_{eq}=\sqrt{3}\frac{PR}{2e}
45			\end{equation*}
46			Les déformations peuvent alors être calculées :
47			\begin{equation*}
48			\epsilon_{ij}^e=
49			\begin{pmatrix}
50			\frac{1-2\nu}{E}\frac{PR}{2e} & 0 & 0 \\
51			0 & \frac{2-\nu}{E}\frac{PR}{2e} & 0 \\
52	francois	949	0 & 0 & \frac{-3\nu PR}{2Ee} \\
53	francois	941	\end{pmatrix}
54			\end{equation*}
55			\begin{equation*}
56			\epsilon_{ij}^p=\frac{\sqrt{3}e}{PR}(\frac{\frac{\sqrt{3}PR}{2e}-\sigma_y}{K})^M
57			\begin{pmatrix}
58			0 & 0 & 0 \\
59			0 & \frac{PR}{2e} & 0 \\
60			0 & 0 & \frac{-PR}{2e} \\
61			\end{pmatrix}
62			\end{equation*}
63			La longueur du cylindre est selon l'axe 1 donc sa variation de longueur permanente est donnée par $\epsilon_{11}^p$ qui est nulle.
64			\\
65			Le variation permanente d'épaisseur et de rayon est donnée par la direction 2 ou 3 :
66			\begin{equation*}
67			\frac{\delta e}{e}=\frac{\delta R}{R}=\epsilon_{22}^p=\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\frac{\sqrt{3}PR}{2e}-\sigma_y}{K})^M
68			\end{equation*}
69
70			\subsection{Exercice 2}
71			\subsubsection{Enoncé}
72			Mise en forme sur un marteau-pilon ou une presse d'une gorge dans une plaque par poinçonnnement plastique. Calculez la force nécessaire pour réaliser une gorge de longueur $L$ et de largeur $l$ et de profondeur $h$ dans une plaque d'épaisseur $e$. La condition $L>>l>>e$ permet de considérer, à cause des frottements que la déformation $\epsilon_{22}$ dans la direction $x_2$ de l'axe de la gorge est négligeable devant les déformations $\epsilon_{33}$ dans le sens de l'épaisseur et $\epsilon_{11}$.
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76
77			\subsubsection{Solution}
78			\begin{center}
79			\includegraphics[width=10cm,bb=0 0 349 155]{./solmatlab/exerciceplasticite.jpg}
80			% exerciceplasticite.jpg: 465x206 pixel, 96dpi, 12.30x5.45 cm, bb=0 0 349 155
81			\end{center}
82			Les déformations nécessaire pour obtenir la forme désirées sont $\epsilon_{33}^P=-\frac{h}{e}$
83			\\Comme $\epsilon_{22}^p=0$ et que $\epsilon_{ii}^p=0$ alors $\epsilon_{11}^p=\frac{h}{e}$
84			\\Donc
85			\begin{equation*}
86			\epsilon_{ij}^p=
87			\begin{pmatrix}
88			\frac{h}{e} & 0 & 0 \\
89			0 & 0 & 0 \\
90			0 & 0 & \frac{-h}{e} \\
91			\end{pmatrix}
92			\end{equation*}
93			Les contraintes sont donc de la forme
94			\begin{equation*}
95			\sigma_{ij}^D=
96			\begin{pmatrix}
97			-\sigma_{33}^D & 0 & 0 \\
98			0 & 0 & 0 \\
99			0 & 0 & \sigma_{33}^D \\
100			\end{pmatrix}
101			\end{equation*}
102			La relation de plasticité selon l'intégration de Henky-Mises est alors
103			\begin{equation*}
104			\epsilon_{33}^p=\frac{3}{2}(\frac{\sigma_{eq}-\sigma_y}{K})^M\frac{\sigma_{33}^D}{\sigma_{eq}}
105			\end{equation*}
106			En calculant
107			\begin{equation*}
108			\sigma_{eq}=\sqrt{\frac{3}{2}((\sigma_{33}^D)^2+(\sigma_{33}^D)^2)}=\sqrt{3}\sigma_{33}^D
109			\end{equation*}
110			il vient
111			\begin{equation*}
112			\epsilon_{33}^p=\frac{3}{2}(\frac{\sqrt{3}\sigma_{33}^D-\sigma_y}{K})^M\frac{\sigma_{33}^D}{\sqrt{3}\sigma_{33}^D}=\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\sqrt{3}\sigma_{33}^D-\sigma_y}{K})^M
113			\end{equation*}
114			soit
115			\begin{equation*}
116			\frac{\sqrt{3}\sigma_{33}^D-\sigma_y}{K}=\arrowvert \frac{2}{\sqrt{3}}\epsilon_{33}^p\arrowvert^\frac{1}{M}
117			\end{equation*}
118			\begin{equation*}
119			\sigma_{33}^D=\frac{1}{\sqrt{3}}(K\arrowvert \frac{2}{\sqrt{3}}\epsilon_{33}^p\arrowvert^\frac{1}{M}+\sigma_y)
120			\end{equation*}
121			\begin{equation*}
122			\sigma_{33}^D=-\frac{1}{\sqrt{3}}[K( \frac{2h}{\sqrt{3}e})^\frac{1}{M}+\sigma_y]
123			\end{equation*}
124			Le résultat final est
125			\begin{equation*}
126			\sigma_{ij}^D=\frac{1}{\sqrt{3}}[K( \frac{2h}{\sqrt{3}e})^\frac{1}{M}+\sigma_y]
127			\begin{pmatrix}
128			1 & 0 & 0 \\
129			0 & 0 & 0 \\
130			0 & 0 & -1 \\
131			\end{pmatrix}
132			\end{equation*}
133			\subsection{Exercice 3}
134			\subsubsection{Enoncé}
135			Soit un état de contrainte en ($MPa$) en un point d'une pièce d'acier de propriétés $E=210GPa$, $\nu=0.3$, $R_e=300MPa$ et $R_m=350MPa$.
136			\begin{equation*}
137			\sigma_{ij}=
138			\begin{pmatrix}
139			200 & 30 & 0\\
140			30 & -120 & 0\\
141			0 & 0 & 20\\
142			\end{pmatrix}
143			\end{equation*}
144			\begin{enumerate}
145			\item Pour l'état de contrainte donné, le comportement du matériau est-il élastique selon le critère de Tresca ?
146			\item Pour l'état de contrainte donné, le comportement du matériau est-il élastique selon le critère de Von Mises ?
147			\item Le même état de contrainte est appliqué sur un autre acier de propriétés $E=210GPa$, $\nu=0.3$, $R_e=50MPa$ et $R_m=270MPa$. Est-ce que la matériau a atteint la rupture ?
148
149			\end{enumerate}
150
151			\subsubsection{Solution}
152			\subsubsection{Programme MATLAB des calculs}
153			\verbatiminput{./solmatlab/ruine.m}
154			\subsubsection{Résultat}
155			\verbatiminput{./solmatlab/ruine.sol}
156			Conclusion de l'exercice :
157			\begin{enumerate}
158			\item La contrainte de tresca vaut $325MPa$ et est supérieure à $R_e$. Le matériau est donc en plasticité selon Tresca.
159			\item La contrainte de Von Mises vaut $282MPa$ et est inférieur à $R_e$. Le matériau est donc en élasticité selon Von Mises.
160			\item L contrainte équivalente de rupture est $265MPa$ et est inférieur à $R_m$. Le matériau n'a pas rompu.
161			\end{enumerate}