| 1 |
\section{Exercices} |
| 2 |
\subsection{Exercice 1} |
| 3 |
\subsubsection{Enoncé} |
| 4 |
Soit n membrures de section $A$ reliées ensemble au point $O$ soumis à une force $P$. Calculez le déplacement du point $O$. |
| 5 |
\begin{center} |
| 6 |
\includegraphics[bb=0 0 235 155]{./deplacementvirtuel.jpg} |
| 7 |
% deplacementvirtuel.jpg: 313x207 pixel, 96dpi, 8.28x5.48 cm, bb=0 0 235 155 |
| 8 |
\end{center} |
| 9 |
|
| 10 |
\subsubsection{Solution} |
| 11 |
\begin{enumerate} |
| 12 |
\item Les degrés de liberté sont $u$ et $v$ les déplacement en $x$ et $y$ du point $O$. |
| 13 |
\item Pour une barre $L_m$ on a |
| 14 |
\begin{eqnarray*} |
| 15 |
\epsilon &=& \frac{\Delta L_m}{L_m}=\frac{u \cos \alpha_m+v \sin \alpha_m}{L_m}\\ |
| 16 |
\sigma &=& E\epsilon=\frac{E}{L_m}(u \cos \alpha_m+v \sin \alpha_m) |
| 17 |
\end{eqnarray*} |
| 18 |
\item Pour le premier degre de liberté $u$ on pose $\delta u=1$ et on a $\delta \epsilon=\frac{\delta u \cos \alpha_m}{L_m}$ |
| 19 |
\item L'energie virtuelle vaut |
| 20 |
\begin{eqnarray*} |
| 21 |
\delta U=\int_V \sigma \delta \epsilon dV&=&\frac{E}{L_m^2}(u\cos\alpha_m+v\sin\alpha_m)\delta u\cos\alpha_m AL_m\\ |
| 22 |
&=&\frac{E}{L_m}(u\cos^2\alpha_m+v\sin\alpha_m\cos\alpha_m)A |
| 23 |
\end{eqnarray*} |
| 24 |
\item Le travail virtuel externe est $\delta W=P\cos\theta \delta u$. D'après le théorème des déplacements virtuels on a $\delta W=\delta U$ soit (en tenant compte de toutes les membrures) |
| 25 |
\begin{eqnarray*} |
| 26 |
P\cos\theta \delta u = P\cos\theta &=&\delta U\\ |
| 27 |
&=&\sum_{m=1}^{n}\frac{E}{L_m}(u\cos^2\alpha_m+v\sin\alpha_m\cos\alpha_m)A |
| 28 |
\end{eqnarray*} |
| 29 |
\item Pour le deuxième degre de liberté $v$ on pose $\delta v=1$ et on a $\delta \epsilon=\frac{\delta v \sin \alpha_m}{L_m}$ |
| 30 |
\item L'energie virtuelle vaut |
| 31 |
\begin{eqnarray*} |
| 32 |
\delta U=\int_V \sigma \delta \epsilon dV&=&\frac{E}{L_m^2}(u\cos\alpha_m+v\sin\alpha_m)\delta v\sin\alpha_m AL_m\\ |
| 33 |
&=&\frac{E}{L_m}(u\cos\alpha_m\sin\alpha_m+v\sin^2\alpha_m)A |
| 34 |
\end{eqnarray*} |
| 35 |
\item Le travail externe est $W=P\sin\theta$. D'après le théorème des déplacements virtuels on a $W=\delta U$ soit (en tenant compte de toutes les membrures) |
| 36 |
\begin{eqnarray*} |
| 37 |
P\sin\theta&=&\delta U\\ |
| 38 |
&=&\sum_{m=1}^{n}\frac{E}{L_m}(u\cos\alpha_m\sin\alpha_m+v\sin^2\alpha_m)A |
| 39 |
\end{eqnarray*} |
| 40 |
\item Au final nous avons deux équations à deux inconnues $u$ et $v$ |
| 41 |
\begin{eqnarray*} |
| 42 |
P\cos\theta&=&\sum_{m=1}^{n}\frac{E}{L_m}(u\cos^2\alpha_m+v\sin\alpha_m\cos\alpha_m)A\\ |
| 43 |
P\sin\theta&=&\sum_{m=1}^{n}\frac{E}{L_m}(u\cos\alpha_m\sin\alpha_m+v\sin^2\alpha_m)A |
| 44 |
\end{eqnarray*} |
| 45 |
|
| 46 |
\end{enumerate} |
| 47 |
|
| 48 |
\subsection{Exercice 2} |
| 49 |
\subsubsection{Enoncé} |
| 50 |
Déterminez le déplacement au point D du système suivant : |
| 51 |
\begin{center} |
| 52 |
\includegraphics[width=15cm,bb=0 0 261 132]{./enoncetv.jpg} |
| 53 |
% enoncetv.jpg: 348x176 pixel, 96dpi, 9.21x4.66 cm, bb=0 0 261 132 |
| 54 |
\end{center} |
| 55 |
|
| 56 |
\subsubsection{Solution} |
| 57 |
\begin{center} |
| 58 |
\includegraphics[bb=0 0 261 197]{./tvstatiquereel.jpg} |
| 59 |
% tvstatiquereel.jpg: 348x263 pixel, 96dpi, 9.21x6.96 cm, bb=0 0 261 197 |
| 60 |
\\Analyse statique |
| 61 |
\end{center} |
| 62 |
|
| 63 |
\begin{equation*} |
| 64 |
\left\{ |
| 65 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 66 |
R_a+R_c-F=0 |
| 67 |
\\ R_c*L+M_c-F*2*L=0 |
| 68 |
\end{array} |
| 69 |
\right. |
| 70 |
\end{equation*} |
| 71 |
Le système est hyperstatique d'ordre 1. |
| 72 |
\begin{center} |
| 73 |
\includegraphics[bb=0 0 197 245]{./tvbarrereel.jpg} |
| 74 |
% tvbarrereel.jpg: 262x327 pixel, 96dpi, 6.93x8.65 cm, bb=0 0 197 245 |
| 75 |
\\Calcul des proprités du système réel |
| 76 |
\end{center} |
| 77 |
|
| 78 |
\begin{equation*} |
| 79 |
\left\{ |
| 80 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 81 |
M_{AB}=R_a*x_a |
| 82 |
\\P_{AB}=0 |
| 83 |
\end{array} |
| 84 |
\right. |
| 85 |
\left\{ |
| 86 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 87 |
M_{DB}=-F*x_d |
| 88 |
\\P_{DB}=0 |
| 89 |
\end{array} |
| 90 |
\right. |
| 91 |
\left\{ |
| 92 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 93 |
M_{CB}=-M_c |
| 94 |
\\P_{CB}=R_c |
| 95 |
\end{array} |
| 96 |
\right. |
| 97 |
\end{equation*} |
| 98 |
|
| 99 |
|
| 100 |
\begin{center} |
| 101 |
\includegraphics[bb=0 0 197 218]{./tvbarrevirtuel1.jpg} |
| 102 |
% tvbarrevirtuel1.jpg: 263x290 pixel, 96dpi, 6.96x7.67 cm, bb=0 0 197 218 |
| 103 |
\\Calcul des proprités du système virtuel 1 |
| 104 |
\end{center} |
| 105 |
Résolution statique du système virtuel 1 : |
| 106 |
\begin{equation*} |
| 107 |
\left\{ |
| 108 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 109 |
1+\delta R_c=0 |
| 110 |
\\ \delta R_c*L+\delta M_c=0 |
| 111 |
\end{array} |
| 112 |
\right. |
| 113 |
\left\{ |
| 114 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 115 |
\delta R_c=-1 |
| 116 |
\\ \delta M_c=L |
| 117 |
\end{array} |
| 118 |
\right. |
| 119 |
\end{equation*} |
| 120 |
Calcul des proprités du système virtuel 1 |
| 121 |
\begin{equation*} |
| 122 |
\left\{ |
| 123 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 124 |
\delta M_{AB}=x_a |
| 125 |
\\ \delta P_{AB}=0 |
| 126 |
\end{array} |
| 127 |
\right. |
| 128 |
\left\{ |
| 129 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 130 |
\delta M_{DB}=0 |
| 131 |
\\ \delta P_{DB}=0 |
| 132 |
\end{array} |
| 133 |
\right. |
| 134 |
\left\{ |
| 135 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 136 |
\delta M_{CB}=-\delta M_c=-L |
| 137 |
\\ \delta P_{CB}=\delta R_c=-1 |
| 138 |
\end{array} |
| 139 |
\right. |
| 140 |
\end{equation*} |
| 141 |
théorème des travaux virtuel pour le système 1 : |
| 142 |
\begin{equation*} |
| 143 |
\begin{array}{lll} \delta U &=& \frac{\delta P*P*L}{AE}+\int{\frac{\delta M*M}{EI}dx} \text{ (pas de torsion)} |
| 144 |
\\ \delta W &=& \delta R_a*v_a=1*0=0 |
| 145 |
\\ \delta U &=& \delta W =0 |
| 146 |
\end{array}\end{equation*} |
| 147 |
|
| 148 |
\begin{center} |
| 149 |
\includegraphics[bb=0 0 197 245]{./tvbarrevirtuel2.jpg} |
| 150 |
% tvbarrevirtuel2.jpg: 262x327 pixel, 96dpi, 6.93x8.65 cm, bb=0 0 197 245 |
| 151 |
\\Calcul des proprités du système virtuel 2 |
| 152 |
\end{center} |
| 153 |
Résolution statique du système virtuel 2 : |
| 154 |
\begin{equation*} |
| 155 |
\left\{ |
| 156 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 157 |
\delta R_a+\delta R_c-\delta F=0 |
| 158 |
\\ \delta R_c*L+\delta M_c-2*\delta F*L=0 |
| 159 |
\end{array} |
| 160 |
\right. |
| 161 |
\left\{ |
| 162 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 163 |
\delta R_a=-1 |
| 164 |
\\ \delta R_c=2 |
| 165 |
\\ \delta M_c=0 |
| 166 |
\end{array} |
| 167 |
\right. |
| 168 |
\end{equation*} |
| 169 |
Calcul des proprités du système virtuel 2 |
| 170 |
\begin{equation*} |
| 171 |
\left\{ |
| 172 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 173 |
\delta M_{AB}=-x_{a} |
| 174 |
\\ \delta P_{AB}=0 |
| 175 |
\end{array} |
| 176 |
\right. |
| 177 |
\left\{ |
| 178 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 179 |
\delta M_{DB}=-x_{d} |
| 180 |
\\ \delta P_{DB}=0 |
| 181 |
\end{array} |
| 182 |
\right. |
| 183 |
\left\{ |
| 184 |
\begin{array}{rrrrr} |
| 185 |
\delta M_{CB}=0 |
| 186 |
\\ \delta P_{CB}=\delta R_c=2 |
| 187 |
\end{array} |
| 188 |
\right. |
| 189 |
\end{equation*} |
| 190 |
théorème des travaux virtuel pour le système 2 : |
| 191 |
\begin{equation*} |
| 192 |
\begin{array}{lll} \delta U &=& \frac{\delta P*P*L}{AE}+\int{\frac{\delta M*M}{EI}dx} \text{ (pas de torsion)} |
| 193 |
\\ \delta W &=& \delta F*v_d=1*v_d |
| 194 |
\\ \delta U &=& \delta W =v_d |
| 195 |
\end{array}\end{equation*} |
| 196 |
|
| 197 |
\subsubsection{Programme MATLAB des calculs} |
| 198 |
\verbatiminput{./solmatlab/travauxvirtuels.m} |
| 199 |
\subsubsection{Résultat} |
| 200 |
\verbatiminput{./solmatlab/travauxvirtuels.sol} |
