document/GMC1016/exerciceenergie.tex

\section{Exercices}
\subsection{Exercice 1}
\subsubsection{Enoncé}
Soit n membrures de section $A$ reliées ensemble au point $O$ soumis à une force $P$. Calculez le déplacement du point $O$.
\begin{center}
\includegraphics[bb=0 0 235 155]{./deplacementvirtuel.jpg}
% deplacementvirtuel.jpg: 313x207 pixel, 96dpi, 8.28x5.48 cm, bb=0 0 235 155
\end{center}

\subsubsection{Solution}
\begin{enumerate}
 \item Les degrés de liberté sont $u$ et $v$ les déplacement en $x$ et $y$ du point $O$.
 \item Pour une barre $L_m$ on a 
 \begin{eqnarray*}
  \epsilon &=& \frac{\Delta L_m}{L_m}=\frac{u \cos \alpha_m+v \sin \alpha_m}{L_m}\\
  \sigma &=& E\epsilon=\frac{E}{L_m}(u \cos \alpha_m+v \sin \alpha_m)
 \end{eqnarray*}
\item Pour le premier degre de liberté $u$ on pose $\delta u=1$ et on a $\delta \epsilon=\frac{\delta u \cos \alpha_m}{L_m}$
\item L'energie virtuelle vaut 
\begin{eqnarray*}
       \delta U=\int_V \sigma \delta \epsilon dV&=&\frac{E}{L_m^2}(u\cos\alpha_m+v\sin\alpha_m)\delta u\cos\alpha_m AL_m\\
       &=&\frac{E}{L_m}(u\cos^2\alpha_m+v\sin\alpha_m\cos\alpha_m)A
      \end{eqnarray*}
\item Le travail virtuel externe est $\delta W=P\cos\theta \delta u$. D'après le théorème des déplacements virtuels on a $\delta W=\delta U$ soit (en tenant compte de toutes les membrures)
\begin{eqnarray*}
       P\cos\theta \delta u = P\cos\theta &=&\delta U\\
       &=&\sum_{m=1}^{n}\frac{E}{L_m}(u\cos^2\alpha_m+v\sin\alpha_m\cos\alpha_m)A
       \end{eqnarray*}
\item Pour le deuxième degre de liberté $v$ on pose $\delta v=1$ et on a $\delta \epsilon=\frac{\delta v \sin \alpha_m}{L_m}$
\item L'energie virtuelle vaut 
\begin{eqnarray*}
       \delta U=\int_V \sigma \delta \epsilon dV&=&\frac{E}{L_m^2}(u\cos\alpha_m+v\sin\alpha_m)\delta v\sin\alpha_m AL_m\\
       &=&\frac{E}{L_m}(u\cos\alpha_m\sin\alpha_m+v\sin^2\alpha_m)A
      \end{eqnarray*}
\item Le travail externe est $W=P\sin\theta$. D'après le théorème des déplacements virtuels on a $W=\delta U$ soit (en tenant compte de toutes les membrures)
\begin{eqnarray*}
       P\sin\theta&=&\delta U\\
       &=&\sum_{m=1}^{n}\frac{E}{L_m}(u\cos\alpha_m\sin\alpha_m+v\sin^2\alpha_m)A
       \end{eqnarray*}
\item Au final nous avons deux équations à deux inconnues $u$ et $v$
\begin{eqnarray*}
       P\cos\theta&=&\sum_{m=1}^{n}\frac{E}{L_m}(u\cos^2\alpha_m+v\sin\alpha_m\cos\alpha_m)A\\
       P\sin\theta&=&\sum_{m=1}^{n}\frac{E}{L_m}(u\cos\alpha_m\sin\alpha_m+v\sin^2\alpha_m)A
       \end{eqnarray*}

       \end{enumerate}

\subsection{Exercice 2}
\subsubsection{Enoncé}
Déterminez le déplacement au point D du système suivant :
\begin{center}
 \includegraphics[width=15cm,bb=0 0 261 132]{./enoncetv.jpg}
 % enoncetv.jpg: 348x176 pixel, 96dpi, 9.21x4.66 cm, bb=0 0 261 132
\end{center}

\subsubsection{Solution}
\begin{center}
 \includegraphics[bb=0 0 261 197]{./tvstatiquereel.jpg}
 % tvstatiquereel.jpg: 348x263 pixel, 96dpi, 9.21x6.96 cm, bb=0 0 261 197
 \\Analyse statique
\end{center}

\begin{equation*}
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  R_a+R_c-F=0
 \\ R_c*L+M_c-F*2*L=0
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Le système est hyperstatique d'ordre 1.
\begin{center}
 \includegraphics[bb=0 0 197 245]{./tvbarrereel.jpg}
 % tvbarrereel.jpg: 262x327 pixel, 96dpi, 6.93x8.65 cm, bb=0 0 197 245
 \\Calcul des proprités du système réel
\end{center}

\begin{equation*}
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  M_{AB}=R_a*x_a
  \\P_{AB}=0
\end{array}
\right.
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  M_{DB}=-F*x_d
  \\P_{DB}=0
\end{array}
\right.
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  M_{CB}=-M_c
  \\P_{CB}=R_c
\end{array}
\right.
\end{equation*}


\begin{center}
 \includegraphics[bb=0 0 197 218]{./tvbarrevirtuel1.jpg}
 % tvbarrevirtuel1.jpg: 263x290 pixel, 96dpi, 6.96x7.67 cm, bb=0 0 197 218
 \\Calcul des proprités du système virtuel 1
 \end{center}
Résolution statique du système virtuel 1 :
\begin{equation*}
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  1+\delta R_c=0
 \\ \delta R_c*L+\delta M_c=0
\end{array}
\right.
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  \delta R_c=-1
 \\ \delta M_c=L
\end{array}
\right.
\end{equation*} 
Calcul des proprités du système virtuel 1
 \begin{equation*}
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  \delta M_{AB}=x_a
  \\ \delta P_{AB}=0
\end{array}
\right.
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  \delta M_{DB}=0
  \\ \delta P_{DB}=0
\end{array}
\right.
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  \delta M_{CB}=-\delta M_c=-L
  \\ \delta P_{CB}=\delta R_c=-1
\end{array}
\right.
\end{equation*}
théorème des travaux virtuel pour le système 1 :
\begin{equation*}
 \begin{array}{lll} \delta U &=& \frac{\delta P*P*L}{AE}+\int{\frac{\delta M*M}{EI}dx} \text{    (pas de torsion)}
 \\ \delta W &=& \delta R_a*v_a=1*0=0
 \\ \delta U &=& \delta W =0
\end{array}\end{equation*}

 \begin{center}
 \includegraphics[bb=0 0 197 245]{./tvbarrevirtuel2.jpg}
 % tvbarrevirtuel2.jpg: 262x327 pixel, 96dpi, 6.93x8.65 cm, bb=0 0 197 245
 \\Calcul des proprités du système virtuel 2
 \end{center}
Résolution statique du système virtuel 2 :
\begin{equation*}
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  \delta R_a+\delta R_c-\delta F=0
 \\ \delta R_c*L+\delta M_c-2*\delta F*L=0
\end{array}
\right.
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  \delta R_a=-1
 \\ \delta R_c=2
 \\ \delta M_c=0
\end{array}
\right.
\end{equation*} 
Calcul des proprités du système virtuel 2
 \begin{equation*}
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  \delta M_{AB}=-x_{a}
  \\ \delta P_{AB}=0
\end{array}
\right.
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  \delta M_{DB}=-x_{d}
  \\ \delta P_{DB}=0
\end{array}
\right.
\left\{
 \begin{array}{rrrrr}
  \delta M_{CB}=0
  \\ \delta P_{CB}=\delta R_c=2
\end{array}
\right.
\end{equation*}
théorème des travaux virtuel pour le système 2 :
\begin{equation*}
 \begin{array}{lll} \delta U &=& \frac{\delta P*P*L}{AE}+\int{\frac{\delta M*M}{EI}dx} \text{    (pas de torsion)}
 \\ \delta W &=& \delta F*v_d=1*v_d
 \\ \delta U &=& \delta W =v_d
\end{array}\end{equation*}

\subsubsection{Programme MATLAB des calculs}
\verbatiminput{./solmatlab/travauxvirtuels.m}
\subsubsection{Résultat}
\verbatiminput{./solmatlab/travauxvirtuels.sol}
Revision:	1035
Committed:	Wed Dec 18 22:48:14 2019 UTC (5 years, 4 months ago) by francois
Content type:	application/x-tex
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Log Message:	mise a jour des notes de cours de GMC1016
#	User	Rev	Content
1	francois	941	\section{Exercices}
2			\subsection{Exercice 1}
3			\subsubsection{Enoncé}
4			Soit n membrures de section $A$ reliées ensemble au point $O$ soumis à une force $P$. Calculez le déplacement du point $O$.
5			\begin{center}
6			\includegraphics[bb=0 0 235 155]{./deplacementvirtuel.jpg}
7			% deplacementvirtuel.jpg: 313x207 pixel, 96dpi, 8.28x5.48 cm, bb=0 0 235 155
8			\end{center}
9
10			\subsubsection{Solution}
11			\begin{enumerate}
12			\item Les degrés de liberté sont $u$ et $v$ les déplacement en $x$ et $y$ du point $O$.
13			\item Pour une barre $L_m$ on a
14			\begin{eqnarray*}
15			\epsilon &=& \frac{\Delta L_m}{L_m}=\frac{u \cos \alpha_m+v \sin \alpha_m}{L_m}\\
16			\sigma &=& E\epsilon=\frac{E}{L_m}(u \cos \alpha_m+v \sin \alpha_m)
17			\end{eqnarray*}
18			\item Pour le premier degre de liberté $u$ on pose $\delta u=1$ et on a $\delta \epsilon=\frac{\delta u \cos \alpha_m}{L_m}$
19			\item L'energie virtuelle vaut
20			\begin{eqnarray*}
21			\delta U=\int_V \sigma \delta \epsilon dV&=&\frac{E}{L_m^2}(u\cos\alpha_m+v\sin\alpha_m)\delta u\cos\alpha_m AL_m\\
22			&=&\frac{E}{L_m}(u\cos^2\alpha_m+v\sin\alpha_m\cos\alpha_m)A
23			\end{eqnarray*}
24	francois	1035	\item Le travail virtuel externe est $\delta W=P\cos\theta \delta u$. D'après le théorème des déplacements virtuels on a $\delta W=\delta U$ soit (en tenant compte de toutes les membrures)
25	francois	941	\begin{eqnarray*}
26	francois	1035	P\cos\theta \delta u = P\cos\theta &=&\delta U\\
27	francois	941	&=&\sum_{m=1}^{n}\frac{E}{L_m}(u\cos^2\alpha_m+v\sin\alpha_m\cos\alpha_m)A
28			\end{eqnarray*}
29			\item Pour le deuxième degre de liberté $v$ on pose $\delta v=1$ et on a $\delta \epsilon=\frac{\delta v \sin \alpha_m}{L_m}$
30			\item L'energie virtuelle vaut
31			\begin{eqnarray*}
32			\delta U=\int_V \sigma \delta \epsilon dV&=&\frac{E}{L_m^2}(u\cos\alpha_m+v\sin\alpha_m)\delta v\sin\alpha_m AL_m\\
33			&=&\frac{E}{L_m}(u\cos\alpha_m\sin\alpha_m+v\sin^2\alpha_m)A
34			\end{eqnarray*}
35			\item Le travail externe est $W=P\sin\theta$. D'après le théorème des déplacements virtuels on a $W=\delta U$ soit (en tenant compte de toutes les membrures)
36			\begin{eqnarray*}
37			P\sin\theta&=&\delta U\\
38			&=&\sum_{m=1}^{n}\frac{E}{L_m}(u\cos\alpha_m\sin\alpha_m+v\sin^2\alpha_m)A
39			\end{eqnarray*}
40			\item Au final nous avons deux équations à deux inconnues $u$ et $v$
41			\begin{eqnarray*}
42			P\cos\theta&=&\sum_{m=1}^{n}\frac{E}{L_m}(u\cos^2\alpha_m+v\sin\alpha_m\cos\alpha_m)A\\
43			P\sin\theta&=&\sum_{m=1}^{n}\frac{E}{L_m}(u\cos\alpha_m\sin\alpha_m+v\sin^2\alpha_m)A
44			\end{eqnarray*}
45
46			\end{enumerate}
47
48			\subsection{Exercice 2}
49			\subsubsection{Enoncé}
50			Déterminez le déplacement au point D du système suivant :
51			\begin{center}
52			\includegraphics[width=15cm,bb=0 0 261 132]{./enoncetv.jpg}
53			% enoncetv.jpg: 348x176 pixel, 96dpi, 9.21x4.66 cm, bb=0 0 261 132
54			\end{center}
55
56			\subsubsection{Solution}
57			\begin{center}
58			\includegraphics[bb=0 0 261 197]{./tvstatiquereel.jpg}
59			% tvstatiquereel.jpg: 348x263 pixel, 96dpi, 9.21x6.96 cm, bb=0 0 261 197
60			\\Analyse statique
61			\end{center}
62
63			\begin{equation*}
64			\left\{
65			\begin{array}{rrrrr}
66			R_a+R_c-F=0
67			\\ R_cL+M_c-F2*L=0
68			\end{array}
69			\right.
70			\end{equation*}
71			Le système est hyperstatique d'ordre 1.
72			\begin{center}
73			\includegraphics[bb=0 0 197 245]{./tvbarrereel.jpg}
74			% tvbarrereel.jpg: 262x327 pixel, 96dpi, 6.93x8.65 cm, bb=0 0 197 245
75			\\Calcul des proprités du système réel
76			\end{center}
77
78			\begin{equation*}
79			\left\{
80			\begin{array}{rrrrr}
81			M_{AB}=R_a*x_a
82			\\P_{AB}=0
83			\end{array}
84			\right.
85			\left\{
86			\begin{array}{rrrrr}
87			M_{DB}=-F*x_d
88			\\P_{DB}=0
89			\end{array}
90			\right.
91			\left\{
92			\begin{array}{rrrrr}
93			M_{CB}=-M_c
94			\\P_{CB}=R_c
95			\end{array}
96			\right.
97			\end{equation*}
98
99
100			\begin{center}
101			\includegraphics[bb=0 0 197 218]{./tvbarrevirtuel1.jpg}
102			% tvbarrevirtuel1.jpg: 263x290 pixel, 96dpi, 6.96x7.67 cm, bb=0 0 197 218
103			\\Calcul des proprités du système virtuel 1
104			\end{center}
105			Résolution statique du système virtuel 1 :
106			\begin{equation*}
107			\left\{
108			\begin{array}{rrrrr}
109			1+\delta R_c=0
110			\\ \delta R_c*L+\delta M_c=0
111			\end{array}
112			\right.
113			\left\{
114			\begin{array}{rrrrr}
115			\delta R_c=-1
116			\\ \delta M_c=L
117			\end{array}
118			\right.
119			\end{equation*}
120			Calcul des proprités du système virtuel 1
121			\begin{equation*}
122			\left\{
123			\begin{array}{rrrrr}
124			\delta M_{AB}=x_a
125			\\ \delta P_{AB}=0
126			\end{array}
127			\right.
128			\left\{
129			\begin{array}{rrrrr}
130			\delta M_{DB}=0
131			\\ \delta P_{DB}=0
132			\end{array}
133			\right.
134			\left\{
135			\begin{array}{rrrrr}
136			\delta M_{CB}=-\delta M_c=-L
137			\\ \delta P_{CB}=\delta R_c=-1
138			\end{array}
139			\right.
140			\end{equation*}
141			théorème des travaux virtuel pour le système 1 :
142			\begin{equation*}
143			\begin{array}{lll} \delta U &=& \frac{\delta PPL}{AE}+\int{\frac{\delta M*M}{EI}dx} \text{ (pas de torsion)}
144			\\ \delta W &=& \delta R_av_a=10=0
145			\\ \delta U &=& \delta W =0
146			\end{array}\end{equation*}
147
148			\begin{center}
149			\includegraphics[bb=0 0 197 245]{./tvbarrevirtuel2.jpg}
150			% tvbarrevirtuel2.jpg: 262x327 pixel, 96dpi, 6.93x8.65 cm, bb=0 0 197 245
151			\\Calcul des proprités du système virtuel 2
152			\end{center}
153			Résolution statique du système virtuel 2 :
154			\begin{equation*}
155			\left\{
156			\begin{array}{rrrrr}
157			\delta R_a+\delta R_c-\delta F=0
158			\\ \delta R_cL+\delta M_c-2\delta F*L=0
159			\end{array}
160			\right.
161			\left\{
162			\begin{array}{rrrrr}
163			\delta R_a=-1
164			\\ \delta R_c=2
165			\\ \delta M_c=0
166			\end{array}
167			\right.
168			\end{equation*}
169			Calcul des proprités du système virtuel 2
170			\begin{equation*}
171			\left\{
172			\begin{array}{rrrrr}
173			\delta M_{AB}=-x_{a}
174			\\ \delta P_{AB}=0
175			\end{array}
176			\right.
177			\left\{
178			\begin{array}{rrrrr}
179			\delta M_{DB}=-x_{d}
180			\\ \delta P_{DB}=0
181			\end{array}
182			\right.
183			\left\{
184			\begin{array}{rrrrr}
185			\delta M_{CB}=0
186			\\ \delta P_{CB}=\delta R_c=2
187			\end{array}
188			\right.
189			\end{equation*}
190	francois	1035	théorème des travaux virtuel pour le système 2 :
191	francois	941	\begin{equation*}
192			\begin{array}{lll} \delta U &=& \frac{\delta PPL}{AE}+\int{\frac{\delta M*M}{EI}dx} \text{ (pas de torsion)}
193	francois	1035	\\ \delta W &=& \delta Fv_d=1v_d
194	francois	941	\\ \delta U &=& \delta W =v_d
195			\end{array}\end{equation*}
196
197			\subsubsection{Programme MATLAB des calculs}
198			\verbatiminput{./solmatlab/travauxvirtuels.m}
199			\subsubsection{Résultat}
200	francois	1035	\verbatiminput{./solmatlab/travauxvirtuels.sol}