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\section{Définition} |
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L'énergie de déformation est l'énergie emmagasinée dans le matériau lors de l'apparition de contraintes et de déformations. |
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\section{Calcul de l'énergie de déformation avec déformation 1D} |
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Soit $F_{i}$ un ensemble de forces appliquées en $I$ points. Sur un élément infinitésimal, elles provoquent un ensemble de variation de déplacement $du_{i}$. Le travail infinitésimal engendré par ce déplacement est |
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\begin{eqnarray*} |
| 8 |
dW=F_{i}du_{i}=F_{1}du_{1}+........+F_{n}du_{n} |
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\end{eqnarray*} |
| 10 |
Le travail total sur la pièce est |
| 11 |
\begin{eqnarray*} |
| 12 |
W=\int dW=\int F_{i}du_{i} |
| 13 |
\end{eqnarray*} |
| 14 |
Sur l'élément infinitésimal de volume $\delta V=\delta S \delta l$, une contrainte normale $\sigma$ appliquée dans une direction $x_{1}$ engendre une variation de déformation $d\epsilon$. |
| 15 |
Sur cet élément l'énergie de déformation (le travail) est (étant en 1D, il n' y a qu'une force) |
| 16 |
\begin{eqnarray*} |
| 17 |
dE_{d}=dW=F_{i}du_{i}=Fdu=\sigma \delta S d\epsilon \delta l=\sigma d\epsilon\delta S \delta l=\sigma d\epsilon\delta V |
| 18 |
\end{eqnarray*} |
| 19 |
La densité d'énergie infinitésimale de déformation est |
| 20 |
\begin{eqnarray*} |
| 21 |
de_{d}=\sigma d\epsilon |
| 22 |
\end{eqnarray*} |
| 23 |
Ce calcul est indépendant du comportement du matériau. Si on applique le calcul au cas de l'élasticité linéaire on a $e_{e}$ la densité d'énergie élastique qui se calcul de la manière suivante |
| 24 |
\begin{eqnarray*} |
| 25 |
e_{e}=e_{d}=\int \sigma d\epsilon=\int E\epsilon d\epsilon=\frac{1}{2}\epsilon^2E=\frac{\sigma^2}{2E} |
| 26 |
\end{eqnarray*} |
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\section{Calcul de l'énergie de déformation avec déformation 3D} |
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Le calcul en 3D se fait par similarité avec le cas 1D. En 1D, on a trouvé que $de_{d}=\sigma d\epsilon$. En 3D, on devrait donc obtenir |
| 31 |
\begin{eqnarray*} |
| 32 |
de_{d}=\sigma_{ij}d\epsilon_{ij}=\sigma_{11}d\epsilon_{11}+.......+\sigma_{33}d\epsilon_{33} |
| 33 |
\end{eqnarray*} |
| 34 |
Cette énergie de déformation correspond à la somme de deux phénomènes de déformations : |
| 35 |
\begin{itemize} |
| 36 |
\item la variation de volume (dilatation) |
| 37 |
\item la distorsion (rotation du volume) |
| 38 |
\end{itemize} |
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| 40 |
La variation du volume est exprimée par la trace du tenseur des déformations $\epsilon_{ii}$. On définit une déformation hydrostatique $\epsilon_{H}$ telle que |
| 41 |
\begin{eqnarray*} |
| 42 |
\epsilon_{H}=\frac{1}{3}\epsilon_{ii}=\frac{1}{3}(\epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{33}) |
| 43 |
\end{eqnarray*} |
| 44 |
La distorsion est définie par la le tenseur déviateur des déformations $\epsilon_{ij}^D$. |
| 45 |
\begin{eqnarray*} |
| 46 |
\epsilon_{ij}^D&=&\epsilon_{ij}-\epsilon_{H}\delta_{ij}\\ |
| 47 |
\epsilon_{ij}^D&=&\begin{pmatrix} \epsilon_{11}-\epsilon_{H} & \epsilon_{12} & \epsilon_{13} \\ \epsilon_{21} & \epsilon_{22}-\epsilon_{H} & \epsilon_{23} \\ \epsilon_{31} & \epsilon_{32} & \epsilon_{33}-\epsilon_{H} \end{pmatrix} |
| 48 |
\end{eqnarray*} |
| 49 |
En calculant la trace du tenseur déviateur des déformations on voit que |
| 50 |
\begin{eqnarray*} |
| 51 |
\epsilon_{ii}^D=\epsilon_{11}-\epsilon_{H}+\epsilon_{22}-\epsilon_{H}+\epsilon_{33}-\epsilon_{H}=\epsilon_{ii}-3\epsilon_{H}=0 |
| 52 |
\end{eqnarray*} |
| 53 |
On appelle ce tenseur déviateur car toutes les composantes de dilatation ne sont plus présentes dans $\epsilon_{ij}^D$ |
| 54 |
\\ |
| 55 |
On en déduit que $d\epsilon_{ij}=d\epsilon_{ij}^D+d\epsilon_{H}\delta_{ij}$ |
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| 57 |
Le calcul de la densité d'énergie de déformation se calcule alors |
| 58 |
\begin{eqnarray*} |
| 59 |
de_{d}=\sigma_{ij}d\epsilon_{ij}=\sigma_{ij}d\epsilon_{ij}^D+\sigma_{ij}d\epsilon_{H}\delta_{ij}\\ |
| 60 |
\text{Or }\sigma_{ij}\delta_{ij}=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}=\sigma_{ii} |
| 61 |
\end{eqnarray*} |
| 62 |
Par analogie avec les déformations on définit alors un tenseur déviateur des contraintes et une contrainte hydrostatique |
| 63 |
\begin{eqnarray*} |
| 64 |
\sigma_{H} & = &\frac{1}{3}\sigma_{ii}=\frac{1}{3}(\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})\\ |
| 65 |
\sigma_{ij}^D & = &\sigma_{ij}-\sigma_{H}\delta_{ij} |
| 66 |
\end{eqnarray*} |
| 67 |
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| 68 |
Le calcul de la densité d'énergie de déformation se poursuit alors |
| 69 |
\begin{eqnarray*} |
| 70 |
de_{d} & = &(\sigma_{ij}^D+\sigma_{H}\delta_{ij})(d\epsilon_{ij}^D+d\epsilon_{H}\delta_{ij})\\ |
| 71 |
& = & \sigma_{ij}^Dd\epsilon_{ij}^D+\sigma_{H}d\epsilon_{H}\delta_{ij}\delta_{ij}+\sigma_{H}\delta_{ij}d\epsilon_{ij}^D+\sigma_{ij}^Dd\epsilon_{H}\delta_{ij}\\ |
| 72 |
& = & \sigma_{ij}^Dd\epsilon_{ij}^D+\sigma_{H}d\epsilon_{H}(\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33})+\sigma_{H}d\epsilon_{kk}^D+\sigma_{kk}^Dd\epsilon_{H}\\ |
| 73 |
& = & \sigma_{ij}^Dd\epsilon_{ij}^D+3\sigma_{H}d\epsilon_{H}\\ |
| 74 |
& = & de_{d}^D+de_{d}^H |
| 75 |
\end{eqnarray*} |
| 76 |
\begin{itemize} |
| 77 |
\item $de_{d}^D=\sigma_{ij}^Dd\epsilon_{ij}^D$ est l'énergie de déformation de distorsion.\\ |
| 78 |
\item $de_{d}^H=3\sigma_{H}d\epsilon_{H}$ est l'énergie de déformation hydrostatique.\\ |
| 79 |
\end{itemize} |
| 80 |
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| 81 |
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| 82 |
\section{Calcul de l'énergie de déformation élastique avec déformation 3D} |
| 83 |
Le calcul effectué jusqu'à présent ne tient pas compte du comportement du matériau. Dans le cas du comportement élastique il est intéressant de continuer le calcul en introduit la loi de Hooke dans le calcul.\\ |
| 84 |
La loi de Hooke est |
| 85 |
\begin{eqnarray*} |
| 86 |
\epsilon_{ij}=\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}\\ |
| 87 |
\end{eqnarray*} |
| 88 |
La déformation hydrostatique est alors |
| 89 |
\begin{eqnarray*} |
| 90 |
\epsilon_{H} & = &\frac{1}{3}\epsilon_{mm}=\frac{1}{3}(\frac{1+\nu}{E}\sigma_{mm}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{mm})\\ |
| 91 |
& = & \frac{1}{3}(\frac{1+\nu}{E}3\sigma_{H}-\frac{\nu}{E}3\sigma_{H}.3)\\ |
| 92 |
& = & \frac{1-2\nu}{E}\sigma_{H} |
| 93 |
\end{eqnarray*} |
| 94 |
Et la déformation de distorsion est |
| 95 |
\begin{eqnarray*} |
| 96 |
\epsilon_{ij}^D & = &\epsilon_{ij}-\epsilon_{H}\delta_{ij}\\ |
| 97 |
& = & \frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}-\frac{1-2\nu}{E}\sigma_{H}\delta_{ij}\\ |
| 98 |
& = & \frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{1+\nu}{E}\sigma_{H}\delta_{ij}\\ |
| 99 |
& = & \frac{1+\nu}{E}(\sigma_{ij}-\sigma_{H}\delta_{ij})\\ |
| 100 |
& = & \frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}^D |
| 101 |
\end{eqnarray*} |
| 102 |
La densité d'énergie élastique est alors |
| 103 |
\begin{eqnarray*} |
| 104 |
de_{e}^e=de_{e}^D+de_{e}^H |
| 105 |
\end{eqnarray*} |
| 106 |
avec |
| 107 |
\begin{eqnarray*} |
| 108 |
de_{e}^D=\sigma_{ij}^Dd\epsilon_{ij}^D=\frac{E}{1+\nu}\epsilon_{ij}^Dd\epsilon_{ij}^D\\ |
| 109 |
de_{e}^H=3\sigma_{H}d\epsilon_{H}=\frac{3E}{1-2\nu}\epsilon_{H}d\epsilon_{H}\\ |
| 110 |
\end{eqnarray*} |
| 111 |
Le calcul de l'énergie élastique de déformation peut alors se faire |
| 112 |
\begin{eqnarray*} |
| 113 |
e_{e}^e=e_{e}^D+e_{e}^H |
| 114 |
\end{eqnarray*} |
| 115 |
avec |
| 116 |
\begin{eqnarray*} |
| 117 |
e_{e}^D=\int de_{e}^D=\frac{E}{1+\nu}\frac{1}{2}\epsilon_{ij}^D\epsilon_{ij}^D=\frac{E}{2(1+\nu)}\epsilon_{ij}^D\epsilon_{ij}^D \\ |
| 118 |
e_{e}^H=\int de_{e}^H=\frac{3E}{1-2\nu}\frac{1}{2}\epsilon_{H}^2=\frac{3E}{2(1-2\nu)}\epsilon_{H}^2\\ |
| 119 |
\end{eqnarray*} |
| 120 |
on notera au passage que |
| 121 |
\begin{eqnarray*} |
| 122 |
e_{e}^D & = & \frac{E}{2(1+\nu)}\epsilon_{ij}^D\epsilon_{ij}^D=\frac{1+\nu}{2E}\sigma_{ij}^D\sigma_{ij}^D \\ |
| 123 |
e_{e}^H & = & \frac{3E}{2(1-2\nu)}\epsilon_{H}^2=\frac{3(1-2\nu)}{2E}\sigma_{H}^2\\ |
| 124 |
\end{eqnarray*} |
| 125 |
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| 126 |
\section{Théorème des travaux virtuels} |
| 127 |
Le théorème des travaux virtuels est la base de la résolution du problème d'élasticité par des méthodes numériques telle la méthode des éléments finis. |
| 128 |
\\ |
| 129 |
\fbox{ |
| 130 |
\begin{minipage}{0.9\textwidth} |
| 131 |
\textbf{ |
| 132 |
Énoncé du théorème : A l'équilibre d'un corps déformable, le travail virtuel externe est égal au travail virtuel interne. Si on place des conditions virtuelles (qui n'existent pas en réalité), l'énergie interne (énergie de déformation) due à ces conditions virtuelles est égales à l'énergie externe du travail des conditions virtuelles.} |
| 133 |
\end{minipage} |
| 134 |
} |
| 135 |
\\[0.5cm]Pour créer du travail virtuel, il y a deux solutions : |
| 136 |
\begin{itemize} |
| 137 |
\item Introduire des forces virtuelles. On obtient alors le théorème des forces virtuelles qui est le théorème des travaux virtuels version forces virtuelles. |
| 138 |
\item Introduire des déplacements virtuels. On obtient alors le théorème des déplacements virtuels qui est le théorème des travaux virtuels version déplacements virtuels. |
| 139 |
\end{itemize} |
| 140 |
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| 141 |
On utilise $\delta$ pour qualifier ce qui est virtuel. |
| 142 |
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| 143 |
\subsection{Théorème des déplacements virtuels} |
| 144 |
Cette version du théorème est surtout appliquée pour résoudre des problèmes de statique. |
| 145 |
La méthode de résolution suit les étapes suivantes : |
| 146 |
\begin{enumerate} |
| 147 |
\item Rechercher les degrés de liberté du problème |
| 148 |
\item Calculer les déformations et les contraintes réelles en fonction des degrés de liberté |
| 149 |
\item Imposer successivement à chacun des degrés de liberté un déplacement virtuel et calculer la déformation virtuelles |
| 150 |
\item Calculer l'énergie interne $\delta U=\int \sigma_{ij}d\delta\epsilon$ en fonctions des contraintes réelles et des déformations virtuelles |
| 151 |
\item On obtient une équation pour chaque degré de liberté en également $\delta U$ avec le travail externe virtuel |
| 152 |
\end{enumerate} |
| 153 |
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| 154 |
\subsection{Théorème des forces virtuelles} |
| 155 |
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| 156 |
Pour cette version du théorème on calcul l'énergie interne par |
| 157 |
\begin{eqnarray*} |
| 158 |
de_{e}=\sigma_{ij}d\epsilon_{ij}=\epsilon_{ij}d\sigma_{ij} \text{ parce que l'on est en élasticité} |
| 159 |
\end{eqnarray*} |
| 160 |
|
| 161 |
L'energie interne virtuelle est |
| 162 |
\begin{eqnarray*} |
| 163 |
\delta e_{e}=\int\epsilon_{ij}d\delta\sigma_{ij} |
| 164 |
\end{eqnarray*} |
| 165 |
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| 166 |
Pour pouvoir illustrer ce théorème, on est obligé de revenir au cas des membrures ou l'énergie se calcul de manière simple. |
| 167 |
Pour une membrure on a |
| 168 |
\begin{eqnarray*} |
| 169 |
\delta U=\delta e_{e}=\int\epsilon_{ij}d\delta\sigma_{ij}=\frac{P\delta PL}{AE}+\frac{T\delta TL}{JG}+\int_0^L\frac{M\delta M}{EI}dx |
| 170 |
\end{eqnarray*} |
| 171 |
|
| 172 |
Ceci correspond à la sommation des termes de tension-compression, de torsion et de flexion. |
| 173 |
\\ |
| 174 |
\emph{Attention cette formule n'est valide que dans le cadre du respect des hypothèses de base pour chacun des termes} |
| 175 |
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