| 1 |
\section{Définition d'un problème d'élasticité plane} |
| 2 |
Bien que les problèmes d'élasticité 3D soient les plus simples, leurs résolutions ne sont pas pour autant faciles. |
| 3 |
|
| 4 |
\fbox{ |
| 5 |
\begin{minipage}{0.8\textwidth} |
| 6 |
La formulation d'un problème d'élasticité 3D : \\ |
| 7 |
\begin{itemize} |
| 8 |
\item 15 équations : |
| 9 |
\begin{eqnarray*} |
| 10 |
\epsilon_{ij}&=&\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})\\ |
| 11 |
\sigma_{ij,j}+f_{i}&=&0\\ |
| 12 |
\epsilon_{ij}&=&\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij} |
| 13 |
\end{eqnarray*} |
| 14 |
\item les conditions aux limites : |
| 15 |
\begin{itemize} |
| 16 |
\item Déplacements connus $u_{i}$ en certains points. Ce sont les conditions de Dirichlet. |
| 17 |
\item Densité de forces $T_{i}$ sur le reste les autres frontières. $T_{i}$ est défini tel que $T_{i}=\sigma_{ij}n_{j}$. Ce sont les conditions de Neumann |
| 18 |
\end{itemize} |
| 19 |
|
| 20 |
\end{itemize} |
| 21 |
|
| 22 |
\end{minipage} |
| 23 |
} |
| 24 |
\\[1cm] |
| 25 |
La résolution d'un tel système est complexe et aucune solution n'a été trouvée dans le cas général. Il faut avoir recours à des méthodes numériques telles que la méthode des éléments finis qui permet de trouver une approximation de la solution. |
| 26 |
\\[1cm] |
| 27 |
La question qui vient alors est de dire est ce que l'on peut trouver une solution pour les cas 2D ? \\ |
| 28 |
Mais on est obligé de définir un cas 2D avant de pourvoir le résoudre. On pourrai penser au premier abord qu'un cas 2D consiste à faire varier $i$ et $j$ de $1$ à $2$. En fait la réponse n'est pas aussi simple que cela. |
| 29 |
\\Faisons simplement une petite vérification en appliquant les équations d'élasticité sur un état de contraintes 2D : |
| 30 |
\begin{eqnarray*} |
| 31 |
\sigma_{ij}=\begin{pmatrix}\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ |
| 32 |
\end{eqnarray*} |
| 33 |
|
| 34 |
alors on peut calculer $\epsilon_{33}$ par l'équation d'élasticité : |
| 35 |
|
| 36 |
\begin{eqnarray*} |
| 37 |
\epsilon_{33}&=&\frac{1+\nu}{E}\sigma_{33}-\frac{\nu}{E}(\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})\\ |
| 38 |
&=&-\frac{\nu}{E}(\sigma_{11}+\sigma_{22})\\ |
| 39 |
&\ne&0 |
| 40 |
\end{eqnarray*} |
| 41 |
|
| 42 |
\fbox{ |
| 43 |
\begin{minipage}{0.8\textwidth} |
| 44 |
Si un en un point, l'état contraintes est 2D alors l'état de déformations est 3D. |
| 45 |
\end{minipage} |
| 46 |
} |
| 47 |
\\[0.5cm]Faisons simplement une autre petite vérification en appliquant les équations d'élasticité sur un état de déformations 2D : |
| 48 |
\begin{eqnarray*} |
| 49 |
\epsilon_{ij}=\begin{pmatrix}\epsilon_{11} & \epsilon_{12} & 0 \\ \epsilon_{12} & \epsilon_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ |
| 50 |
\end{eqnarray*} |
| 51 |
|
| 52 |
alors on peut calculer $\sigma_{33}$ par l'équation d'élasticité : |
| 53 |
|
| 54 |
\begin{eqnarray*} |
| 55 |
\sigma_{33}&=&\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}(\epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{33})+2G\epsilon_{33}\\ |
| 56 |
&=&\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}(\epsilon_{11}+\epsilon_{22})\\ |
| 57 |
&\ne&0 |
| 58 |
\end{eqnarray*} |
| 59 |
|
| 60 |
\fbox{ |
| 61 |
\begin{minipage}{0.8\textwidth} |
| 62 |
Si un en un point, l'état de déformations est 2D alors l'état de contraintes est 3D. |
| 63 |
\end{minipage} |
| 64 |
} |
| 65 |
\\[0.5cm] |
| 66 |
\fbox{ |
| 67 |
\begin{minipage}{0.8\textwidth} |
| 68 |
Ces deux vérifications montrent qu'un problème d'élasticité 2D n'existe pas. On définit alors les problèmes d'élasticité plane comme étant les problèmes avec un état de contraintes ou un état de déformations 2D. |
| 69 |
\end{minipage} |
| 70 |
} |
| 71 |
\\[0.5cm] |
| 72 |
Avec ces définitions, nous distinguons 2 types de problème plan : |
| 73 |
\begin{itemize} |
| 74 |
\item Un problème de contraintes planes |
| 75 |
\item Un problème de déformations planes |
| 76 |
\end{itemize} |
| 77 |
Il existe un troisième cas de problème plan : les cas axisymétriques. Si un axe est axe de symétrie pour la géométrie et le chargement alors en passant en coordonnée cylindrique, le problème se découplent en un problème 2D plan et un problème 1D le long de l'axe. |
| 78 |
|
| 79 |
|
| 80 |
|
| 81 |
\section{Problème d'état de contraintes planes} |
| 82 |
|
| 83 |
Une pièce chargée uniquement selon deux dimensions possèdent un état de contraintes plan en tous points. |
| 84 |
Le problème d'élasticité s'écrit : |
| 85 |
\begin{eqnarray*} |
| 86 |
\epsilon_{ij}&=&\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})\text{ pour }i,j=1,2\\ |
| 87 |
\sigma_{ij,j}+f_{i}&=&0\text{ pour }i,j=1,2\\ |
| 88 |
\epsilon_{ij}&=&\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}\text{ pour }i,j=1,2\\ |
| 89 |
\epsilon_{33}&=&-\frac{\nu}{E}(\sigma_{11}+\sigma_{22})=\frac{\nu}{\nu-1}(\epsilon_{11}+\epsilon_{22})\\ |
| 90 |
\end{eqnarray*} |
| 91 |
La déformation dans la troisième direction est directement reliée aux deux autres déformations normales. Bien que l'état de déformations soit 3D, il ne possède que deux directions indépendantes. |
| 92 |
\\Pratiquement parlant, cet état de contraintes peut être considéré pour des plaques minces chargées dans leur plan et toutes situations qui amènent un etat de contraintes 2D. |
| 93 |
|
| 94 |
\section{Problème d'état de déformations planes} |
| 95 |
|
| 96 |
Une pièce qui ne peut pas se déformer dans une direction quelque soit la raison possède un état de déformations 2D. |
| 97 |
Le problème d'élasticité s'écrit : |
| 98 |
\begin{eqnarray*} |
| 99 |
\epsilon_{ij}&=&\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})\text{ pour }i,j=1,2\\ |
| 100 |
\sigma_{ij,j}+f_{i}&=&0\text{ pour }i,j=1,2\\ |
| 101 |
\epsilon_{ij}&=&\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}\text{ pour }i,j=1,2\\ |
| 102 |
\sigma_{33}&=&\nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) |
| 103 |
\end{eqnarray*} |
| 104 |
La contrainte dans la troisième direction est directement reliée aux deux autres contraintes normales. Bien que l'état de contraintes soit 3D, il ne possède que deux directions indépendantes. |
| 105 |
\\Pratiquement parlant, cet état de contraintes peut être considéré pour des plaques épaisses chargées dans leur plan et toutes situations qui amènent un etat de déformations 2D. |
| 106 |
|
| 107 |
|
| 108 |
\section{Résolution d'un problème plan} |
| 109 |
\subsection{Cas général} |
| 110 |
Il s'agit de résoudre les équations d'équilibre soit |
| 111 |
\begin{eqnarray*} |
| 112 |
\sigma_{ij,j}+f_{i}&=&0\\ |
| 113 |
\text{ ou }\\ |
| 114 |
\frac{\partial \sigma_{11}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \sigma_{12}}{\partial x_{2}}+f_{1}&=&0\\ |
| 115 |
\frac{\partial \sigma_{12}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \sigma_{22}}{\partial x_{2}}+f_{2}&=&0\\ |
| 116 |
\end{eqnarray*} |
| 117 |
On fait les changements de variables suivant : |
| 118 |
\\Soit $\phi (x_{1},x_2)$ tel que $\sigma_{11}=\frac{\partial\phi}{\partial x_2}$ et $\sigma_{12}=-\frac{\partial\phi}{\partial x_1}$ |
| 119 |
\\Soit $\psi (x_{1},x_2)$ tel que $\sigma_{22}=\frac{\partial\psi}{\partial x_1}$ et $\sigma_{12}=-\frac{\partial\psi}{\partial x_2}$ |
| 120 |
\\Soit $\chi (x_{1},x_2)$ tel que $\phi=\frac{\partial\chi}{\partial x_2}$ et $\psi=\frac{\partial\chi}{\partial x_1}$ |
| 121 |
\\on obtient que |
| 122 |
\begin{eqnarray*} |
| 123 |
\sigma_{11}&=&\frac{\partial^2\chi}{\partial x_2^2}\\ |
| 124 |
\sigma_{22}&=&\frac{\partial^2\chi}{\partial x_1^2}\\ |
| 125 |
\sigma_{12}&=&-\frac{\partial^2\chi}{\partial x_1 \partial x_2}\\ |
| 126 |
% \sigma_{33}&=&\nu(\sigma_{11}+\sigma_{22})=\nu(\frac{\partial^2\chi}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2\chi}{\partial x_1^2})=\nu\Delta\chi\\ |
| 127 |
\end{eqnarray*} |
| 128 |
L'ensemble des inconnues (toutes les contraintes) sont exprimés en fonction d'une seule inconnue $\chi$ le potentiel d'Airy.\\ |
| 129 |
Le problème s'est quelque peu simplifié puisqu'il ne reste à présent qu'une seule équation. |
| 130 |
L'état de contraintes n'est fonction que de $\chi$ cependant les équations d'élasticité nous disent que cette état de contraintes doit être intégrable en un champ de déplacements $U$. Il doit donc respecter les conditions d'intégrabilité que sont les équations de Beltrami-Mitchell. |
| 131 |
\begin{eqnarray*} |
| 132 |
\Delta \sigma_{ij}+\frac{1}{1+\nu}\sigma_{kk,ij}+\frac{\nu}{1-\nu}f_{k,k}\delta_{ij}+f_{i,j}+f_{j,i}=0 |
| 133 |
\end{eqnarray*} |
| 134 |
En remplaçant les contraintes par le potentiel $\chi$ dans les relations précédentes il vient l'équation qui régit le potentiel $\chi$. |
| 135 |
Pour la résoudre on propose une solution et on vérifie que la solution proposée vérifie les équations d'équilibre et les constantes éventuelles sont déterminées par l'application des conditions aux limites. |
| 136 |
\subsection{Déformation plane} |
| 137 |
En développant les équations de déformation plane on a \\ |
| 138 |
\begin{align*} |
| 139 |
\left\{ |
| 140 |
\begin{array}{llll} |
| 141 |
\epsilon_{11} &=& u_{1,1}\\ |
| 142 |
\epsilon_{22} &=& u_{2,2}\\ |
| 143 |
\epsilon_{12} &=& \frac{1}{2}(u_{1,2}+u_{2,1})\\ |
| 144 |
\end{array} |
| 145 |
\right. |
| 146 |
\end{align*} |
| 147 |
|
| 148 |
\begin{align*} |
| 149 |
\left\{ |
| 150 |
\begin{array}{llll} |
| 151 |
\epsilon_{11}&=&\frac{1}{E}(\sigma_{11}-\nu(\sigma_{22}+\sigma_{33}))\\ |
| 152 |
\epsilon_{22}&=&\frac{1}{E}(\sigma_{22}-\nu(\sigma_{11}+\sigma_{33}))\\ |
| 153 |
\epsilon_{12}&=&\frac{1+\nu}{E}\sigma_{12}\\ |
| 154 |
\sigma_{33}&=&\nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) |
| 155 |
\end{array} |
| 156 |
\right. |
| 157 |
\end{align*} |
| 158 |
Ce dernier système s'ecrit aussi\\ |
| 159 |
\begin{align*} |
| 160 |
\left\{ |
| 161 |
\begin{array}{llll} |
| 162 |
\epsilon_{11}&=&\frac{1}{E}((1-\nu^2)\sigma_{11}-\nu(1+\nu)\sigma_{22})\\ |
| 163 |
\epsilon_{22}&=&\frac{1}{E}((1-\nu^2)\sigma_{22}-\nu(1+\nu)\sigma_{11})\\ |
| 164 |
\epsilon_{12}&=&\frac{1+\nu}{E}\sigma_{12}\\ |
| 165 |
\end{array} |
| 166 |
\right. |
| 167 |
\end{align*} |
| 168 |
Pour résoudre ce problème en déformation plane, il faut trouver les déplacements et les contraintes qui vérifient les contitions d'équilibre, d'intégrabilité et limite. |
| 169 |
Pour les conditions d'intégrabilité, on peut écrire qu'en calculant |
| 170 |
\begin{eqnarray*} |
| 171 |
\sigma_{kk}&=&\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\nu(\sigma_{11}+\sigma_{22})=(1+\nu)(\sigma_{11}+\sigma_{22})\\ |
| 172 |
&=&(1+\nu)(\frac{\partial^2 \chi}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 \chi}{\partial x_1^2})\\ |
| 173 |
&=&(1+\nu)\Delta \chi |
| 174 |
\end{eqnarray*} |
| 175 |
|
| 176 |
l'équation de Beltrami-Mitchell s'écrit (si pas de force de volume) |
| 177 |
\begin{eqnarray*} |
| 178 |
\Delta \frac{\partial^2 \chi}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 \Delta \chi}{\partial x_1^2}&=&0\text{ pour }i=j=1\\ |
| 179 |
\Delta \frac{\partial^2 \chi}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 \Delta \chi}{\partial x_2^2}&=&0\text{ pour }i=j=2\\ |
| 180 |
-\Delta \frac{\partial^2 \chi}{\partial x_1 \partial x_2}+\frac{\partial^2 \Delta \chi}{\partial x_1 \partial x_2}&=&0\text{ pour }i=1,j=2\text{ ou }i=2,j=1 |
| 181 |
\end{eqnarray*} |
| 182 |
ce qui aboutit à l'unique équation $\Delta\Delta\chi=0$ |
| 183 |
La fonction $\chi$ est biharmonique puisque $\Delta\Delta\chi=\chi_{,1111}+2\chi_{,1122}+\chi_{,2222}=0$. |
| 184 |
En trouvant $\chi$ il vient alors la solution |
| 185 |
|
| 186 |
\begin{align*} |
| 187 |
\left\{ |
| 188 |
\begin{array}{llll} |
| 189 |
u_{1,1}&=&\epsilon_{11}=\frac{1+\nu}{E}((1-\nu)\chi_{,22}-\nu\chi_{,11})=\frac{1+\nu}{E}(\chi_{,22}-\nu\Delta\chi)\\ |
| 190 |
u_{2,2}&=&\epsilon_{22}=\frac{1+\nu}{E}((1-\nu)\chi_{,11}-\nu\chi_{,22})=\frac{1+\nu}{E}(\chi_{,11}-\nu\Delta\chi)\\ |
| 191 |
u_{1,2}+u_{2,1}&=&2\epsilon_{12}=\frac{-2(1+\nu)}{E}\chi_{,12} |
| 192 |
\end{array} |
| 193 |
\right. |
| 194 |
\end{align*} |
| 195 |
\subsection{Contrainte plane} |
| 196 |
En développant les équations de contrainte plane on a \\ |
| 197 |
\begin{align*} |
| 198 |
\left\{ |
| 199 |
\begin{array}{llll} |
| 200 |
\epsilon_{11} &=& u_{1,1}\\ |
| 201 |
\epsilon_{22} &=& u_{2,2}\\ |
| 202 |
\epsilon_{12} &=& \frac{1}{2}(u_{1,2}+u_{2,1})\\ |
| 203 |
\epsilon_{33} &=& \frac{\nu}{1+\nu}(\epsilon_{11}+\epsilon_{22})\\ |
| 204 |
\end{array} |
| 205 |
\right. |
| 206 |
\end{align*} |
| 207 |
|
| 208 |
\begin{align*} |
| 209 |
\left\{ |
| 210 |
\begin{array}{llll} |
| 211 |
\epsilon_{11}&=&\frac{1}{E}(\sigma_{11}-\nu\sigma_{22})\\ |
| 212 |
\epsilon_{22}&=&\frac{1}{E}(\sigma_{22}-\nu\sigma_{11})\\ |
| 213 |
\epsilon_{12}&=&\frac{1+\nu}{E}\sigma_{12}\\ |
| 214 |
\epsilon_{33}&=&\frac{-\nu}{E}(\sigma_{11}+\sigma_{22}) |
| 215 |
\end{array} |
| 216 |
\right. |
| 217 |
\end{align*} |
| 218 |
|
| 219 |
Pour les conditions d'intégrabilité, on peut écrire qu'en calculant |
| 220 |
\begin{eqnarray*} |
| 221 |
\sigma_{kk}&=&\sigma_{11}+\sigma_{22}=\Delta \chi |
| 222 |
\end{eqnarray*} |
| 223 |
|
| 224 |
L'équation de Beltrami-Mitchell s'écrit (si pas de force de volume) |
| 225 |
\begin{eqnarray*} |
| 226 |
(1+\nu)\Delta\chi_{,22}+\Delta\chi_{,11}&=&0\text{ pour }i=j=1\\ |
| 227 |
(1+\nu)\Delta\chi_{,11}+\Delta\chi_{,22}&=&0\text{ pour }i=j=2\\ |
| 228 |
-(1+\nu)\Delta\chi_{,12}+\Delta\chi_{,12}&=&0\text{ pour }i=1,j=2\text{ ou }i=2,j=1\\ |
| 229 |
\end{eqnarray*} |
| 230 |
Ces équations imposent que $\Delta\chi$ soit linéaire par rapport aux coordonnées. Ce qui est restrictif. |
| 231 |
Dans le cas des contraintes planes, les conditions d'intégrabilité ne sont pas respectées. Nous développons une autre méthode. |
| 232 |
\\A partir de |
| 233 |
\begin{align*} |
| 234 |
\left\{ |
| 235 |
\begin{array}{llll} |
| 236 |
\epsilon_{11}&=&\frac{1}{E}(\sigma_{11}-\nu\sigma_{22})\\ |
| 237 |
\epsilon_{22}&=&\frac{1}{E}(\sigma_{22}-\nu\sigma_{11})\\ |
| 238 |
\epsilon_{12}&=&\frac{1+\nu}{E}\sigma_{12}\\ |
| 239 |
\epsilon_{33}&=&\frac{-\nu}{E}(\sigma_{11}+\sigma_{22}) |
| 240 |
\end{array} |
| 241 |
\right. |
| 242 |
\end{align*} |
| 243 |
nous réecrivons en fonction de $\chi$ |
| 244 |
\begin{align*} |
| 245 |
\left\{ |
| 246 |
\begin{array}{llll} |
| 247 |
\epsilon_{11}&=&\frac{1}{E}(\chi_{,22}-\nu\chi_{,11})=\frac{1}{E}((1+\nu)\chi_{,22}-\nu\Delta\chi)\\ |
| 248 |
\epsilon_{22}&=&\frac{1}{E}(\chi_{,11}-\nu\chi_{22})=\frac{1}{E}((1+\nu)\chi_{,11}-\nu\Delta\chi)\\ |
| 249 |
\epsilon_{12}&=&-\frac{1+\nu}{E}\chi_{,12}\\ |
| 250 |
\end{array} |
| 251 |
\right. |
| 252 |
\end{align*} |
| 253 |
ce qui permet d'écrire les déplacements |
| 254 |
\begin{align*} |
| 255 |
\left\{ |
| 256 |
\begin{array}{llll} |
| 257 |
u_{1,1}&=&\epsilon_{11}=\frac{1+\nu}{E}(\chi_{,22}-\frac{\nu}{1+\nu}\Delta\chi)\\ |
| 258 |
u_{2,2}&=&\epsilon_{22}=\frac{1+\nu}{E}(\chi_{,11}-\frac{\nu}{1+\nu}\Delta\chi)\\ |
| 259 |
u_{1,2}+u_{2,1}&=&-2\epsilon_{12}=-2\frac{1+\nu}{E}\chi_{,12}\\ |
| 260 |
u_{3,3}&=&\epsilon_{33}=-\frac{\nu}{E}\Delta\chi |
| 261 |
\end{array} |
| 262 |
\right. |
| 263 |
\end{align*} |
| 264 |
Ceci est le même système qu'en déformation plane en remplaçant $\nu$ par $\frac{\nu}{1+\nu}$ |
| 265 |
\\Tout comme en déformation plane il s'agit de trouver $\chi$ qui doit être biharmonique. |
| 266 |
|
| 267 |
\subsection{Choix de la fonction biharmonique en coordonnée cartésienne} |
| 268 |
|
| 269 |
\begin{center} |
| 270 |
\includegraphics[bb=0 0 1152 753,width=18cm, angle =-90]{./EPcart1.jpg} |
| 271 |
% EPcart1.jpg: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb= |
| 272 |
\end{center} |
| 273 |
\begin{center} |
| 274 |
\includegraphics[bb=0 0 1152 693,width=18cm, angle =-90]{./EPcart2.jpg} |
| 275 |
% EPcart1.jpg: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb= |
| 276 |
\end{center} |
| 277 |
\begin{center} |
| 278 |
\includegraphics[bb=0 0 1152 687,width=18cm, angle =-90]{./EPcart3.jpg} |
| 279 |
% EPcart1.jpg: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb= |
| 280 |
\end{center} |
| 281 |
|
| 282 |
|
| 283 |
|
| 284 |
|
| 285 |
|
| 286 |
\subsection{Application au calcul d'un barrage} |
| 287 |
On propose d'étudier un barrage de grande largeur (figure \ref{barrage}). On s'intéresse à l'équilibre de la partie centrale C d'un barrage en béton de grande largeur dans la direction $x_3$. l'objectif est d'obtenir le tenseur des contraintes dans la partie centrale du barrage. Le barrage est délimité par les plan $P_0$,$P_1$ et $P_2$. Il est encastré dans le fond de la vallée au niveau du plan $P_0$ : |
| 288 |
\begin{itemize} |
| 289 |
\item Équation de $P_0$ : $x_2+h=0$ |
| 290 |
\item Équation de $P_1$ : $x_1=0$ |
| 291 |
\item Équation de $P_2$ : $x_1+x_2=0$ |
| 292 |
\item l'eau retenue en amont exerce une pression hydrostatique $F_p=-P\frac{x_2}{h}$ selon $x_1$. |
| 293 |
\item $P_2$ est libre de contrainte |
| 294 |
\item On néglige les forces de volume. Le béton est un matériau élastique isotrope linéaire de module d'Young $E$ et de coefficient de Poisson $\nu$. |
| 295 |
\end{itemize} |
| 296 |
\begin{figure}[htb] |
| 297 |
\begin{center} |
| 298 |
\includegraphics[bb=0 0 560 314,width=0.95\textwidth]{./barrage.jpg} |
| 299 |
% barrage.jpg: 746x418 pixel, 96dpi, 19.74x11.06 cm, bb=0 0 560 314 |
| 300 |
\caption{Plan du barrage} |
| 301 |
\label{barrage} |
| 302 |
\end{center} |
| 303 |
\end{figure} |
| 304 |
|
| 305 |
Le problème est un problème de déformation plane parce qu'au centre du barrage, il n'y a aucune raison que $\epsilon_{33}\ne0$ à cause de la symétrie du barrage. |
| 306 |
Le tenseur des contraintes est alors : |
| 307 |
|
| 308 |
\begin{eqnarray*} |
| 309 |
\sigma_{ij}&=&\begin{pmatrix}\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) \end{pmatrix}\\ |
| 310 |
\sigma_{11}&=&\frac{\partial^2 \chi}{\partial x_2^2}\\ |
| 311 |
\sigma_{22}&=&\frac{\partial^2 \chi}{\partial x_1^2}\\ |
| 312 |
\sigma_{12}&=&-\frac{\partial^2 \chi}{\partial x_1 \partial x_2 }\\ |
| 313 |
\end{eqnarray*} |
| 314 |
De plus les contraintes doivent vérifier l'équation de Beltrami-Mitchell |
| 315 |
% \begin{eqnarray*} |
| 316 |
% \Delta \sigma_{ij}+\frac{1}{1+\nu}\sigma_{kk,ij}=0\text{ en négligeant les forces volumiques} |
| 317 |
% \end{eqnarray*} |
| 318 |
% En remarquant que |
| 319 |
% \begin{eqnarray*} |
| 320 |
% \sigma_{kk}&=&\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\nu(\sigma_{11}+\sigma_{22})=(1+\nu)(\sigma_{11}+\sigma_{22})\\ |
| 321 |
% &=&(1+\nu)(\frac{\partial^2 \chi}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 \chi}{\partial x_1^2})\\ |
| 322 |
% &=&(1+\nu)\Delta \chi |
| 323 |
% \end{eqnarray*} |
| 324 |
% |
| 325 |
% Les équation de Beltrami-Mitchell s'écrivent |
| 326 |
% \begin{eqnarray} |
| 327 |
% \label{relbar1}\Delta \frac{\partial^2 \chi}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 \Delta \chi}{\partial x_1^2}&=&0\text{ pour }i=j=1\\ |
| 328 |
% \label{relbar2}\Delta \frac{\partial^2 \chi}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 \Delta \chi}{\partial x_2^2}&=&0\text{ pour }i=j=2\\ |
| 329 |
% \label{relbar3}-\Delta \frac{\partial^2 \chi}{\partial x_1 \partial x_2}+\frac{\partial^2 \Delta \chi}{\partial x_1 \partial x_2}&=&0\text{ pour }i=1,j=2\text{ ou }i=2,j=1 |
| 330 |
% \end{eqnarray} |
| 331 |
% |
| 332 |
% L'équation \ref{relbar3} n'est pas une équation puisqu'elle aboutit à $0=0$. |
| 333 |
% Les équations \ref{relbar1} et \ref{relbar2} aboutissent à la même équation |
| 334 |
\begin{eqnarray*} |
| 335 |
\Delta \Delta \chi=0 |
| 336 |
\end{eqnarray*} |
| 337 |
Le problème entier revient à résoudre cette dernière équation.\\ |
| 338 |
D'après le paragraphe précédent, on a dans ce cas |
| 339 |
\begin{eqnarray*} |
| 340 |
\chi=ax_1^3+bx_1^2x_2+cx_2^3 |
| 341 |
\end{eqnarray*} |
| 342 |
|
| 343 |
Comme les contraintes sont des dérivées d'ordre 2 du potentiel d'Airy |
| 344 |
\begin{eqnarray*} |
| 345 |
\sigma_{ij}&=&\begin{pmatrix}6cx_2&-2bx_1 &0 \\ -2bx_1 & 6ax_1+2bx_2& 0\\0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix}\\ |
| 346 |
\end{eqnarray*} |
| 347 |
|
| 348 |
|
| 349 |
Et on vérifie ensuite les équations de départ pour déterminer les constantes: |
| 350 |
\begin{itemize} |
| 351 |
\item Vérification des équations d'équilibre $\sigma_{ij,j}=0$ (les forces de volume sont nulles) |
| 352 |
\begin{eqnarray*} |
| 353 |
\text{Pour i=1, on obtient }0=0\\ |
| 354 |
\text{Pour i=2, on obtient }0=0\\ |
| 355 |
\end{eqnarray*} |
| 356 |
Les équations d'équilibre sont automatiquement verifiées puisqu'elles ont été prises en compte dans les conditions de Beltrami-Mitchell |
| 357 |
\item Vérification de la condition au limite sur $P_1$ $(x_1=0)$ : $\sigma n=f$ avec $n(-1,0)$ la normale à $P_1$. |
| 358 |
\begin{eqnarray*} |
| 359 |
\begin{pmatrix}6cx_2 & 0 \\ 0 & 2bx_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{Px_2}{h} \\0 \end{pmatrix}\\ |
| 360 |
\text{ soit }6cx_2=\frac{Px_2}{h} \text{ et } 0=0\\ |
| 361 |
c=\frac{P}{6h} |
| 362 |
\end{eqnarray*} |
| 363 |
\item Vérification de la condition au limite sur $P_2$ $(x_1+x_2=0)$: $\sigma n=0$ avec $n(cos \frac{\pi}{4},sin \frac{\pi}{4})$ la normale à $P_2$. |
| 364 |
\begin{eqnarray*} |
| 365 |
\begin{pmatrix}6cx_2& 2bx_2\\2bx_2 & -6ax_2+2bx_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}cos \frac{\pi}{4}\\ sin \frac{\pi}{4} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}\\ |
| 366 |
\text{ soit }6cx_2+2bx_2=0\text{ et }2bx_2-6ax_2+2bx_2=0\\ |
| 367 |
b=-3c=\frac{-P}{2h}\\ |
| 368 |
a=\frac{2}{3}b=\frac{-P}{3h} |
| 369 |
\end{eqnarray*} |
| 370 |
La solution du problème est alors |
| 371 |
\begin{eqnarray*} |
| 372 |
\chi&=&\frac{P}{h}(\frac{-1}{3}x_1^3-\frac{1}{2}x_1^2x_2+\frac{1}{6}x_2^3)\\ |
| 373 |
\sigma_{ij}&=&\frac{P}{h}\begin{pmatrix}x_2 & x_1 & 0 \\ x_1 & -2x_1-x_2 & 0 \\ 0 & 0 & -2\nu x_1 \end{pmatrix}\\ |
| 374 |
\end{eqnarray*} |
| 375 |
|
| 376 |
|
| 377 |
\end{itemize} |
| 378 |
|
| 379 |
|
