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\documentclass[letterpaper,10pt]{book} |
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\usepackage[utf8]{inputenc} |
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\usepackage[french]{babel} |
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\usepackage{graphicx} |
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\usepackage{amsmath} |
| 6 |
\usepackage{verbatim} |
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\usepackage{fourier} |
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\usepackage{multirow} |
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\usepackage{fourier} |
| 10 |
%\renewcommand{\thechapter}{\Roman{chapter}} |
| 11 |
%\renewcommand{\thesubsubsection}{\alph{subsubsection}} |
| 12 |
%\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}} |
| 13 |
\setcounter{tocdepth}{3} |
| 14 |
\setcounter{secnumdepth}{3} |
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\makeatletter |
| 16 |
%\renewcommand{\thesection}{\@arabic\c@section} |
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\makeatother |
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\title{GMC1016 - Élasticité et plasticité} |
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\author{Vincent François \\ \\ Professeur - Département de Génie Mécanique UQTR} |
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\begin{document} |
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\begin{titlepage} |
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\begin{center} |
| 30 |
\includegraphics[width=0.5\textwidth,bb=0 0 510 169]{logogm.png} |
| 31 |
% logogm.png: 2123x705 px, 300dpi, 17.97x5.97 cm, bb=0 0 510 169 |
| 32 |
\end{center} |
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\begin{center} |
| 38 |
\vspace{2cm} |
| 39 |
\Huge |
| 40 |
GMC1016 - Élasticité et plasticité\\ |
| 41 |
\LARGE |
| 42 |
Notes de cours et exercices\\ |
| 43 |
\vspace{3cm} |
| 44 |
\Large |
| 45 |
Vincent François \\ |
| 46 |
Professeur - Département de Génie Mécanique UQTR\\ |
| 47 |
\vspace{2cm} |
| 48 |
\normalsize |
| 49 |
\today |
| 50 |
\end{center} |
| 51 |
\end{titlepage} |
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\clearpage |
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\tableofcontents |
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\clearpage |
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\chapter[Introduction]{Introduction} |
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| 62 |
Ce document est un résumé du cours GMC1016 - Élasticité et plasticité. Ce cours s'appuie sur deux ouvrages complets : |
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\begin{itemize} |
| 64 |
\item Résistance des matériaux des presses Polytechniques de Montréal |
| 65 |
\item Résistance mécanique des solides de Dunod |
| 66 |
\end{itemize} |
| 67 |
Ce document n'est pas suffisant pour comprendre l'ensemble des notions vues en cours. Il sert uniquement à définir le fil conducteur du cours qui est basé sur des informations prises dans ces deux ouvrages. |
| 68 |
Les informations ne sont pas prises dans l'ordre des pages de ces deux livres. Ce document montre l'ordre des notions vues en cours. |
| 69 |
\\[1cm] |
| 70 |
Certains exercices qui sont des éléments essentiels du cours sont compris dans ce document. |
| 71 |
\section{Les hypothèses de base} |
| 72 |
Des hypothèses de base s'appliquent à tous le document. D'autres seront introduites au fur et mesure du cours. |
| 73 |
Ces hypothèses ont été posées dans le cours de résistance des matériaux : |
| 74 |
\begin{itemize} |
| 75 |
\item L'étude est une étude sur un milieu continu. c'est un milieu sans cavité et sans fissures. Cela permet de faire l'équilibre sur un élément infinitésimale et de l'étendre sur le domaine entier. |
| 76 |
\item Le matériau étudié est homogène. Ces propriétés sont les mêmes en tout point du domaine. |
| 77 |
\item Le matériau est isotrope. Ces propriétés sont les mêmes dans toutes les directions. |
| 78 |
\end{itemize} |
| 79 |
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| 80 |
\section{Rappel des cours de matériaux et de résistances des matériaux} |
| 81 |
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L'objectif du cours est |
| 83 |
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| 84 |
\begin{itemize} |
| 85 |
\item l'étude de la résistance des pièces mécaniques quelque soit leurs formes géométriques. |
| 86 |
\item l'étude des déformations |
| 87 |
\item l'étude de la rupture |
| 88 |
\item la compréhension des phénomènes d'élasticité et de plasticité sur des pièces 3D. |
| 89 |
\end{itemize} |
| 90 |
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| 91 |
\danger \qquad Ces études sont des études de phénomènes quasi invisibles mais ayant des conséquences importantes. On joue dans des différences de dimensions de l'ordre de $10^{-5}$ ou $10^{-6}$. |
| 92 |
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| 93 |
\subsection{Cours des matériaux} |
| 94 |
Dans le cours de matériaux trois notions importantes ont été définies : |
| 95 |
\begin{itemize} |
| 96 |
\item les contraintes $\sigma$ : Efforts internes à la matière qui permettent de maintenir un corps en équilibre lorsque des efforts extérieurs sont appliqués. Unité le Pascal |
| 97 |
\item les déformations $\epsilon$: Variation de dimensions d'un corps due sous l'effet des contraintes ou d'un gradient de température. Pas d'unité. |
| 98 |
\item les déplacements $U$ ou $D$: Changement de longueur et d'angles d'un corps sous l'effet des déformations. Unité le mètre. |
| 99 |
\end{itemize} |
| 100 |
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| 101 |
\danger \qquad ces notions se nomment en anglais stress, strain et displacement. Cependant le terme deformation est souvent employé pour parler des déplacements. |
| 102 |
\\ |
| 103 |
Ensuite une classification des matériaux est réalisé à partir de la courbe caractéristique contrainte-déformation d'un matériau lors d'un essai de traction simple.\\ |
| 104 |
Le phénomène d'élasticité est expliqué à partir du modèle électrostatique de la matière et du modèle de Bohr pour l'atome.\\ |
| 105 |
Le phénomène de plasticité est expliqué à partir des défauts de dimension 1 dans la structure de la matière : les dislocations. Le mouvement des dislocations expliquent l'apparition de la plasticité et la source de Frank-Read explique la croissance de la plasticité. La source de Frank-Read est mise en action par des contraintes de cisaillement. |
| 106 |
\\La modélisation de ces phénomènes est directement reliée à ces observations. |
| 107 |
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| 108 |
\subsection{Cours de Résistance des matériaux} |
| 109 |
Le cours de résistance des matériaux consiste à étudier les contraintes/déformations/déplacements sur des structures de type poutre (une grande dimension et 2 autres petites). |
| 110 |
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| 111 |
\subsubsection{Hypothèses} |
| 112 |
Différentes hypothèses sont utilisées durant le cours : |
| 113 |
\begin{itemize} |
| 114 |
\item milieu continu :un milieu sans cavité et sans fissure. La matière est continue en tout point. Cela permet de faire l'équilibre sur un élément infinitésimal et l'entendre sur le domaine entier en utilisant l'outil mathématique d'intégration |
| 115 |
\item matériau homogène : les propriétés du matériau sont les mêmes en tout point du domaine. |
| 116 |
\item matériau isotrope : les propriétés du matériau sont les mêmes dans toutes les directions. |
| 117 |
\end{itemize} |
| 118 |
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| 119 |
\subsubsection{Méthode générale de résolution de problème de RDM} |
| 120 |
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| 121 |
Le travail est fait en tenant compte de deux principes : |
| 122 |
\begin{itemize} |
| 123 |
\item principe de superposition : En élasticité linéaire, le principe consiste à dire que l'action d'une combinaison de chargement est égale à la somme des effets de chaque chargement. |
| 124 |
\item principe de Saint-Venant : en un point suffisamment loin de la surface ou la charge est placée, l'effet de la charge est presque le même quelque soit le type de charge. |
| 125 |
\end{itemize} |
| 126 |
La méthode de résolution suit trois étapes : |
| 127 |
\begin{enumerate} |
| 128 |
\item étude des forces et conditions aux limites. |
| 129 |
\item étude des déplacements et de la compatibilité géométrique. |
| 130 |
\item application des relations forces/déplacement (Loi de comportement). |
| 131 |
\end{enumerate} |
| 132 |
Si l'étape 1 peut se résoudre avant de faire les 2 autres étapes, le corps est dans un état isostatique. Les étapes 1,2 et 3 sont indépendantes.\\ |
| 133 |
Si l'étape 1 ne peut pas se résoudre sans faire les 2 autres étapes, le corps est dans un état hyperstatique. L'ensemble des 3 étapes forment un système d’équations à résoudre ensemble. La statique et la mécanique des milieux continus sont inter-dépendants. |
| 134 |
\\ |
| 135 |
On peut décomposer tout problème en trois cas de charges différents : |
| 136 |
\begin{itemize} |
| 137 |
\item le chargement uniaxial : Charge est selon l'axe de la poutre et donc perpendiculaire à la section de la poutre. on a alors $\sigma=\frac{F}{S}$, $\epsilon=\frac{\delta l}{l_0}$ et $\sigma=E\epsilon$. |
| 138 |
\item le chargement en flexion : Charge est perpendiculaire à l'axe de la poutre et la poutre est bloquée au moins en un point dans le sens opposés à la charge. On étudie les diagramme des efforts tranchants $V(x)$ et des moments fléchissants $M(x)$ qui varie en fonction de x. La flèche est donnée par $y''=\frac{M(x)}{ER}$ et la contrainte de tension $\sigma=\frac{-M(x)y}{I}$. $I$ est le moment d'inertie et $I=\int y^2 dA$. La contrainte de torsion est $\tau=\frac{V(x)Q}{Ib}$ avec $Q=\int_{A'}ydA$ avec $A'$ qui est l'aire de la section au dessus de l'endroit ou on calcule $\tau$. |
| 139 |
\item un chargement de torsion (applicable sur une section circulaire uniquement) : le chargement est un couple $T$ autour de l'axe de la poutre. La contrainte $\tau=\frac{Tr}{J}$ avec J le moment polaire $J=\int_A r^2 dA$ et la variation d'angle de la section est $\frac{d\phi}{dx}=\frac{T}{GJ}$. |
| 140 |
\end{itemize} |
| 141 |
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| 142 |
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| 143 |
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| 144 |
\subsubsection{Méthode énergétique (Castigliano)} |
| 145 |
Les méthodes énergétiques permettent de solutionner des problèmes plus complexe comme les problèmes hyperstatiques et comportant de nombreuses poutres. |
| 146 |
Nous voyons ici la méthode de Castigliano qui sera comparé à la méthode des travaux virtuels qui est l'objet de ce cours. |
| 147 |
\\ Soit un problème à $n$ poutres, l'énergie de déformation $U$ des $n$ poutres est |
| 148 |
\begin{equation*} |
| 149 |
U=\sum_{i=1}^n \frac{P_i^2}{2E_iA_i}+\sum_{i=1}^n \frac{T_i^2}{2G_iL_i}+\sum_{i=1}^n \int_0^{L_i}\frac{M_i^2}{2E_iI_i}dx |
| 150 |
\end{equation*} |
| 151 |
|
| 152 |
Le taux de variation de l’énergie de déformation d'un corps par rapport à toute force indépendante $Q$ est égale à la flèche $v$ au point d'application de la force et dans la direction de celle-ci. |
| 153 |
\begin{equation*} |
| 154 |
v=\frac{\partial U}{\partial Q} |
| 155 |
\end{equation*} |
| 156 |
Le taux de variation de l’énergie de déformation d'un corps par rapport à tout moment indépendant $Q$ est égale à l'angle d'inclinaison de la poutre $\theta$ au point d'application du moment dans le sens de celui-ci. |
| 157 |
\begin{equation*} |
| 158 |
\theta=\frac{\partial U}{\partial Q} |
| 159 |
\end{equation*} |
| 160 |
|
| 161 |
\section{Norme pour le cours pour les symboles d'appui} |
| 162 |
\begin{center} |
| 163 |
\includegraphics[width=6cm,bb=0 0 413 599]{./symbole.jpg} |
| 164 |
% symbole.jpg: 550x799 pixel, 96dpi, 14.55x21.14 cm, bb=0 0 413 599 |
| 165 |
\end{center} |
| 166 |
\section{Calcul d'un moment pour une charge répartie} |
| 167 |
\begin{tabular}{|c|c|c|} |
| 168 |
\hline |
| 169 |
& &\\ |
| 170 |
\multirow{4}{*}{\includegraphics[width=5cm,bb=0 0 289 86]{./chargerepartie.jpg}} &Moment par rapport à un point& $M_a=\int_{x_1}^{x_2} f(x)xdx$\\ |
| 171 |
&&\\ |
| 172 |
\cline{2-3} |
| 173 |
&&\\ |
| 174 |
& Moment fléchissant & $M(x)=\int_{x_1}^{x} f(t)(x-t)dt$\\ |
| 175 |
&&\\ |
| 176 |
\hline |
| 177 |
\end{tabular} |
| 178 |
|
| 179 |
|
| 180 |
|
| 181 |
\input{exerciceintroduction} |
| 182 |
|
| 183 |
|
| 184 |
\chapter{L'état de contraintes tridimensionnel} |
| 185 |
\chaptermark{L'état de contraintes} |
| 186 |
\input{contrainte} |
| 187 |
\input{exercicecontrainte} |
| 188 |
|
| 189 |
\chapter{L'état de déformations tridimensionnel} |
| 190 |
\chaptermark{L'état de déformations} |
| 191 |
|
| 192 |
\input{deformation} |
| 193 |
\input{exercicedeformation} |
| 194 |
\chapter{Relations d'élasticité tridimensionnelle} |
| 195 |
\chaptermark{Élasticité} |
| 196 |
\input{comportementelastique} |
| 197 |
\input{exerciceelasticite3d} |
| 198 |
\chapter{Introduction à la notation tensorielle} |
| 199 |
\chaptermark{Notation tensorielle} |
| 200 |
%\includepdf[pages=1-3]{tenseur.pdf} |
| 201 |
\input{tensor} |
| 202 |
\chapter{L’énergie de déformation} |
| 203 |
\chaptermark{Énergie de déformation} |
| 204 |
\input{energie} |
| 205 |
\input{exerciceenergie} |
| 206 |
\chapter{Modélisation de la plasticité tridimensionnelle} |
| 207 |
\chaptermark{Plasticité} |
| 208 |
\input{plasticite} |
| 209 |
\input{exerciceplasticite} |
| 210 |
\chapter{Exemple d'élasticité plane} |
| 211 |
\chaptermark{Élasticité plane} |
| 212 |
\input{elasticiteplane} |
| 213 |
\appendix |
| 214 |
%\chapter{Équation d'élasticité plane en coordonnée polaire} |
| 215 |
%\input{elasticiteplanepolaire} |
| 216 |
|
| 217 |
|
| 218 |
|
| 219 |
\end{document} |
