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francois |
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\section{Introduction} |
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\subsection{Définition des déformations} |
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Sous l'action d'un chargement extérieur ou d'un gradient de température les dimensions d'un corps changent. La variation de ces dimensions constitue les déformations (figure \ref{defdef}). |
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Dans le chapitre précèdent, six chargements indépen\-dants ont été définis. Il en résulte qu'il existe six déformations indépendantes : |
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\begin{figure}[htb] |
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\begin{center} |
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\includegraphics[bb=0 0 354 191,width=0.75\textwidth]{./defdef.JPG} |
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% defdef.JPG: 472x254 pixel, 96dpi, 12.49x6.72 cm, bb=0 0 354 191 |
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\end{center} |
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\caption{Définition des déformation} |
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\label{defdef} |
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\end{figure} |
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3 déformations normales : |
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\begin{equation} |
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\left\{ |
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\begin{array}{rrrrr} |
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\epsilon_{xx}=\epsilon_x=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{I'A'-IA}{IA} |
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\\ \epsilon_{yy}=\epsilon_y=\lim\limits_{\Delta y \to 0}\frac{I'B'-IB}{IB} |
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\\ \epsilon_{zz}=\epsilon_z=\lim\limits_{\Delta z \to 0}\frac{I'C'-IC}{IC} |
| 22 |
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\end{array} |
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\right. |
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\end{equation} |
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3 déformations de cisaillement : |
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\begin{equation} |
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\left\{ |
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\begin{array}{rrrrr} |
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\gamma_{xy}=\lim\limits_{ \Delta x \to 0 \Delta y \to 0}\left(\frac{\pi}{2}-\widehat{A'I'B'} \right) |
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\\ \gamma_{yz}=\lim\limits_{ \Delta y \to 0 \Delta z \to 0}\left(\frac{\pi}{2}-\widehat{B'I'C'} \right) |
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\\ \gamma_{xz}=\lim\limits_{ \Delta z \to 0 \Delta x \to 0}\left(\frac{\pi}{2}-\widehat{C'I'A'} \right) |
| 32 |
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\end{array} |
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\right. |
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\end{equation} |
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\subsection{Convention de signe} |
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\begin{itemize} |
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\item Une déformation normale $\epsilon$ est positive s'il y a allongement après défor\-mation. |
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\item Une déformation de cisaillement $\gamma$ est positive lorsque l'angle droit au départ diminue après déformation. |
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\end{itemize} |
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\section{Déformation dans un plan} |
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\subsection{Définition} |
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Soit un corps de forme quelconque. On peut représenter par un vecteur $\overrightarrow{\delta_i}$ le déplacement d'un point quelconque du corps défini par |
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\\[0.6cm] |
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$\overrightarrow{\delta_i}=u(x,y,z)\overrightarrow{i}+v(x,y,z)\overrightarrow{j}+w(x,y,z)\overrightarrow{k}$ |
| 46 |
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\\[0.6cm]Ce vecteur $\overrightarrow{\delta_i}$ forme le champs de déplacement $U(x,y,z)$ |
| 47 |
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\\[0.6cm] |
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Dans le cas plan de déformation $w(x,y,z)=0$. |
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Le champs de déplacement $U(x,y,z)$ vaut : |
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$\left\{ \begin{array}{rrrrr}u=u(x,y) \\ v=v(x,y) \\ 0 \end{array}\right.$ |
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\subsection{Relation entre $U$ et $\epsilon$} |
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Soit le plan $(ABC)$ qui se déforme en un plan $(A'B'C')$ (figure \ref{defdet}). |
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\\Les coordonnées des points $A$,$B$ et $C$ sont |
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\begin{center}$A(x,y)$ $B(x+\Delta x,y)$ $C(x,y+\Delta y)$\end{center} |
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Les coordonnées des points $A'$,$B'$ et $C'$ sont |
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\begin{center}$A'(x+u,y+v)$ $B'(x+\Delta x+u+\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x,y+v+\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x)$ $C'(x+u+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y,y+\Delta y+v+\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y)$\end{center} |
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\begin{figure} |
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\begin{center} |
| 64 |
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\includegraphics[bb=0 0 540 246,keepaspectratio=true,width=0.85\textwidth]{./defdet.JPG} |
| 65 |
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% defdet.JPG: 720x328 pixel, 96dpi, 19.05x8.68 cm, bb=0 0 540 246 |
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\caption{Détermination des déformations} |
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\end{center} |
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\label{defdet} |
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\end{figure} |
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Le calcul des déformations peut s'effectuer : |
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\\ |
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$\epsilon_x=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{x_{A'B'}-x_{AB}}{x_{AB}}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{x+\Delta x+u+\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x-x-u-x-\Delta x+x}{x+\Delta x-x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x}{\Delta_x}=\frac{\partial u}{\partial x}$ |
| 75 |
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$\epsilon_y=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{y_{A'C'}-y_{AC}}{y_{AC}}=\lim\limits_{\Delta y \to 0}\frac{y+\Delta y+v+\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y-y-v-y-\Delta y+y}{y+\Delta y-y}=\lim\limits_{\Delta y \to 0}\frac{\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y}{\Delta y}=\frac{\partial v}{\partial y}$ |
| 76 |
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$\gamma_{xy}=\lim\limits_{ \Delta x \to 0 \Delta y \to 0}\left(\frac{\pi}{2}-\widehat{B'A'C'} \right)$ |
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\\$\widehat{B'A'C'}=\frac{\pi}{2}-\widehat{C'A'C}-\widehat{BA'B'}$ |
| 78 |
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\\$sin \widehat{BA'B'}=\frac{v+\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x-v}{\Delta x(1+\epsilon_x)}=\frac{\partial v}{\partial x(1+\epsilon_x)}$ |
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\\En faisant l'hypothèse de petites déformations (HPP) on peut écrire que $sin \widehat{BA'B'}=\widehat{BA'B'}$ et que $1+\epsilon_x=1$ si bien que |
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\\$\widehat{BA'B'}=\frac{\partial v}{\partial x}$ |
| 81 |
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\\ En effectuant le même calcul on trouve que |
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\\$\widehat{C'A'C}=\frac{\partial u}{\partial y}$ |
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\\Il en resulte que |
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\\$\gamma_{xy}=\lim\limits_{ \Delta x \to 0 \Delta y \to 0}\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\widehat{C'A'C}-\widehat{BA'B'}\right) \right)=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$ |
| 85 |
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\section{Déformation dans l'espace} |
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En répétant le procédé précèdent dans trois plans orthogonaux entre eux, on en déduit que |
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\\[0.6cm] |
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\begin{equation} |
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\left\{ \begin{array}{llllll} |
| 91 |
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\epsilon_x=\frac{\partial u}{\partial x} \\ |
| 92 |
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|
\epsilon_y=\frac{\partial v}{\partial y} \\ |
| 93 |
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|
\epsilon_z=\frac{\partial w}{\partial z} \\ |
| 94 |
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|
\gamma_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \\ |
| 95 |
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|
\gamma_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x} \\ |
| 96 |
|
|
\gamma_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y} \\ |
| 97 |
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|
\end{array}\right. |
| 98 |
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\end{equation} |
| 99 |
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on réécrit ce résultat sous la forme suivante : |
| 100 |
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\\[0.6cm] |
| 101 |
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$ |
| 102 |
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\left\{ \begin{array}{lllll} |
| 103 |
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\epsilon_x=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial x} \right) \\ |
| 104 |
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\epsilon_y=\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y} \right) \\ |
| 105 |
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\epsilon_z=\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial w}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial z} \right) \\ |
| 106 |
|
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\gamma_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} =2\left( \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \right) \right)\\ |
| 107 |
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\gamma_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x} =2\left( \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x} \right) \right)\\ |
| 108 |
|
|
\gamma_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y} =2\left( \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y} \right) \right)\\ |
| 109 |
|
|
\end{array}\right. |
| 110 |
|
|
$ |
| 111 |
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\\[0.6cm] |
| 112 |
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Avec cette nouvelle écriture nous pouvons définir : |
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\\[0.6cm] |
| 114 |
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|
$ |
| 115 |
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\epsilon_{ij}=\left\{ \begin{array}{lllll} |
| 116 |
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\epsilon_{xx}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial x} \right) \\ |
| 117 |
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|
\epsilon_{yy}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y} \right) \\ |
| 118 |
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|
\epsilon_{zz}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial w}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial z} \right) \\ |
| 119 |
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|
\epsilon_{xy}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \right) \\ |
| 120 |
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|
\epsilon_{xz}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x} \right) \\ |
| 121 |
|
|
\epsilon_{yz}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y} \right) \\ |
| 122 |
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|
\end{array}\right.=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial U_i}{\partial x_j}+\frac{\partial U_j}{\partial x_i} \right) |
| 123 |
|
|
$ |
| 124 |
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|
\\[0.6cm] |
| 125 |
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$\epsilon_{ij}$ forme le tenseur des déformations. Il s'écrit |
| 126 |
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\\[0.6cm] |
| 127 |
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$\epsilon_{ij}=\begin{pmatrix} |
| 128 |
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|
\epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ |
| 129 |
|
|
\epsilon_{xy} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ |
| 130 |
|
|
\epsilon_{xz} & \epsilon_{yz} & \epsilon_{zz} \\ |
| 131 |
|
|
\end{pmatrix}= |
| 132 |
|
|
\begin{pmatrix} |
| 133 |
|
|
\epsilon_{xx} & \frac{\gamma_{xy}}{2} & \frac{\gamma_{xz}}{2} \\ |
| 134 |
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\frac{\gamma_{xy}}{2} & \epsilon_{yy} & \frac{\gamma_{yz}}{2} \\ |
| 135 |
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|
\frac{\gamma_{xz}}{2} & \frac{\gamma_{yz}}{2} & \epsilon_{zz} \\ |
| 136 |
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|
\end{pmatrix}$ |
| 137 |
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\\[0.6cm]Ce tenseur des déformations est équivalent au tenseur des contraintes. Toutes les notions vues sur les directions et les valeurs extrémales du tenseur des contraintes sont applicables au niveau du tenseur des déformations. |
| 138 |
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Il suffit de remplacer $\sigma$ par $\epsilon$ et $\tau$ par $\frac{\gamma}{2}$ dans les équations. |
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\\[0.6cm]Tout comme cela est le cas pour le tenseur des contraintes, ce tenseur des déformations représente \emph{l'état de déformations} d'un point.\\ |
| 140 |
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\fbox{ |
| 141 |
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\begin{minipage}{0.9\textwidth} |
| 142 |
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\textbf{ |
| 143 |
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|
Les résultats pour les déformations ont été obtenus après hypothèse de petits déplacements. Au niveau des contraintes, une hypothèse a également été faite. Le repère du corps étudié n'a pas changé au cours de la déformation.} |
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| 145 |
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| 146 |
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\end{minipage} |
| 147 |
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} |
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\section{Mesure des déformations} |
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Contrairement aux contraintes qui ne sont pas directement mesurable expéri\-mentalement parlant, les déformations peuvent se mesurer à l'aide de jauges de déformations. |
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\\Une jauge de déformations est un morceau de métal que l'on colle sur un point pour connaitre la déformation normale dans la direction de la jauge. En effet il existe une proportionnalité entre la resistance éléctrique et la longueur de la jauge. |
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Dans un plan en plaçant trois jauges dans trois directions différentes, le tenseur 2D des déformations peut être déterminé. |
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Cette assemblage de jauge s'appelle une rosette. Dans la pratique on trouve des rosettes à $45^o$ ou à $60^o$. L'angle de $45^o$ ou de $60^o$ est l'angle entre les jauges. |
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\section{HPP : Hypothèses des Petites Perturbations} |
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Dans le chapitre des contraintes et des déformations, des hypothèses de petites perturbations ont été posées afin de solutionner résoudre les problèmes simples : |
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\begin{itemize} |
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\item Pour le tenseur des contraintes, le referentiel est supposé fixe au cours de la déformation. Cette hypothèse est vérifiée pour des petits déplacements et des petites déformations. Le tenseur des contraintes résultant s'appelle le tenseur des contraintes de \emph{Cauchy} $\sigma$. |
| 159 |
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\item Pour le tenseur des déformations, deux hypothèses ont été émises : $sin x=x$ et $\epsilon_x<<1$. Ces hypotheses conduisent au tenseurs des petites déformations de Green-Lagrange linéarisé $\epsilon$. |
| 160 |
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\end{itemize} |
| 161 |
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