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francois |
941 |
\section{Introduction} |
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\subsection{Définition des contraintes} |
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Soit un corps sollicité par un système de forces extérieures. Les contraintes $\sigma$ sont les efforts internes au corps qui apparaissent pour contrer les forces extérieures afin de garder le corps en équilibre. |
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\begin{figure}] |
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\begin{center} |
| 10 |
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\includegraphics[bb=0 0 359 349,width=0.75\textwidth]{./contrainte1.JPG} |
| 11 |
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% contrainte1.JPG: 478x465 pixel, 96dpi, 12.65x12.30 cm, bb=0 0 359 349 |
| 12 |
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\end{center} |
| 13 |
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\caption{Définition d'une contrainte} |
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\label{defcon} |
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\end{figure} |
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Soit un point $I$ du corps appartenant à un plan $m$ (figure \ref{defcon}). En $I$, les efforts extérieurs sont $\Delta F(\Delta F_x,\Delta F_y,\Delta F_z)$. |
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Dans le plan $m$, il existe alors une contrainte normale $\sigma_{xx}$ et deux contraintes de cisaillement |
| 20 |
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$\tau_{xy}$ et $\tau_{xz}$ tel que : |
| 21 |
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\begin{equation} |
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\sigma_{xx}=\sigma_x=\lim\limits_{\Delta A_x \to 0}\frac{\Delta F_x}{\Delta A_x} |
| 23 |
|
|
\end{equation} |
| 24 |
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|
\begin{equation} |
| 25 |
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|
\tau_{xy}=\lim\limits_{\Delta A_x \to 0}\frac{\Delta F_y}{\Delta A_x} |
| 26 |
|
|
\end{equation} |
| 27 |
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|
\begin{equation} |
| 28 |
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|
\tau_{xz}=\lim\limits_{\Delta A_x \to 0}\frac{\Delta F_z}{\Delta A_x} |
| 29 |
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|
\end{equation} |
| 30 |
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|
avec $\Delta A_x=\Delta x*\Delta y$ |
| 31 |
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| 32 |
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| 33 |
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\subsection{Convention de signe} |
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Une face est positive si sa normale extérieure est dans le sens positif d'un axe. |
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Une contrainte est positive |
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\begin{itemize} |
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\item si elle est positive selon l'axe sur une face positive. |
| 39 |
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\item si elle est négative selon l'axe sur une face négative. |
| 40 |
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\end{itemize} |
| 41 |
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\section{État de contraintes en un point} |
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En appliquant la définition vue dans le paragraphe précédent aux plans de coupe $xy$ , $xz$ et $yz$, on aboutit à la définition de trois contraintes normales $\sigma_x$,$\sigma_y$,$\sigma_z$ et de 6 contraintes de cisaillement $\tau_{xy}$,$\tau_{xz}$,$\tau_{yx}$,$\tau_{yz}$,$\tau_{zx}$,$\tau_{zy}$ (figure \ref{defcons}). |
| 45 |
|
|
\begin{figure} |
| 46 |
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|
\begin{center} |
| 47 |
|
|
\includegraphics[bb=0 0 232 313,width=0.66\textwidth]{./defcontraintes.JPG} |
| 48 |
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|
% contrainte1.JPG: 478x465 pixel, 96dpi, 12.65x12.30 cm, bb=0 0 359 349 |
| 49 |
|
|
\end{center} |
| 50 |
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|
\caption{Définition de l'ensemble des contraintes} |
| 51 |
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\label{defcons} |
| 52 |
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|
\end{figure} |
| 53 |
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| 54 |
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En étudiant l'équilibre des moments sur une face ($xy$ par exemple), on tire des relations entre les différentes contraintes : |
| 55 |
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| 56 |
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$-\tau_{yx}\Delta_x\frac{\Delta_y}{2}\Delta_z+\tau_{xy}\frac{\Delta_x}{2}\Delta_y\Delta_z-\tau'_{yx}\Delta_x\frac{\Delta_y}{2}\Delta_z+\tau'_{xy}\frac{\Delta_x}{2}\Delta_y\Delta_z =0$ |
| 57 |
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| 58 |
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soit $(\tau_{yx}-\tau_{xy})+(\tau'_{yx}-\tau'_{xy})=0$ |
| 59 |
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| 60 |
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On en déduit que $\tau_{xy}=\tau_{yx}$ et $\tau'_{xy}=\tau'_{yx}$ et on généralise dans les autres plans. |
| 61 |
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| 62 |
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|
Les 6 contraintes de cisaillement sont égales deux à deux. Il existe donc uniquement 3 contraintes de cisaillement indépendantes. |
| 63 |
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| 64 |
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|
Au total, il existe 3 contraintes normales ($\sigma_x$,$\sigma_y$,$\sigma_z$) et 3 contraintes de cisaillement ($\tau_{xy}$,$\tau_{xz}$,$\tau_{yz}$) indépendantes. |
| 65 |
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|
Ces 6 contraintes forment un \emph{état de contraintes} en un point. |
| 66 |
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|
On représente cet état de contraintes par le tenseur des contraintes : |
| 68 |
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| 69 |
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%\begin{equation} |
| 70 |
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| 71 |
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|
$\sigma=\begin{pmatrix} |
| 72 |
|
|
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ |
| 73 |
|
|
\tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ |
| 74 |
|
|
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{z} \\ |
| 75 |
|
|
\end{pmatrix} |
| 76 |
|
|
$ |
| 77 |
|
|
%\end{equation} |
| 78 |
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| 79 |
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| 80 |
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| 81 |
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\section{État de contraintes dans un plan} |
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\subsection{L'équilibre en un point} |
| 85 |
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| 86 |
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Soit un problème plan de contrainte (tous les $z=0$), l'équilibre de la face est étudié (figure \ref{plancont}). |
| 87 |
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\begin{figure} |
| 88 |
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| 89 |
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\begin{center} |
| 90 |
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|
\includegraphics[bb=0 0 332 299]{./plancon.JPG} |
| 91 |
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|
% plancon.JPG: 442x399 pixel, 96dpi, 11.69x10.56 cm, bb=0 0 332 299 |
| 92 |
|
|
\caption{Équilibre d'un état plan de contraintes} |
| 93 |
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|
\label{plancont} |
| 94 |
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|
\end{center} |
| 95 |
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|
\end{figure} |
| 96 |
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| 97 |
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|
On calcule l'équilibre autour du point I. |
| 98 |
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|
\\ L'équilibre des moments est inutile à faire puisqu'il a déjà été fait pour réduire de 6 à 3 les contraintes de cisaillement. |
| 99 |
|
|
\\ Somme des forces en $x$ : \\ |
| 100 |
|
|
$\Delta_y\Delta_z(\sigma'_x-\sigma_x)+\Delta_x\Delta_z(\tau'_{xy}-\tau_{xy})+F_x=0$ |
| 101 |
|
|
\\ |
| 102 |
|
|
$\Delta_y\Delta_z(\sigma_x+\frac{\partial\sigma_x}{\partial x}\Delta_x-\sigma_x)+\Delta_x\Delta_z(\tau_{xy}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}\Delta_y-\tau_{xy})+F_x=0$ |
| 103 |
|
|
\\ |
| 104 |
|
|
$\frac{\partial\sigma_x}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}+\frac{F_x}{\Delta_x\Delta_y\Delta_z}=0$ |
| 105 |
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| 106 |
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| 107 |
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|
Somme des forces en $y$ : \\ |
| 108 |
|
|
En faisant le même calcul on aboutit à |
| 109 |
|
|
\\$\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_y}{\partial y}+\frac{F_y}{\Delta_x\Delta_y\Delta_z}=0$ |
| 110 |
|
|
|
| 111 |
|
|
On en déduit les équations d'équilibre des contraintes en 2D autour du point I : |
| 112 |
|
|
\begin{eqnarray} |
| 113 |
|
|
\frac{\partial\sigma_x}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}+\rho_x=0 \\ |
| 114 |
|
|
\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_y}{\partial y}+\rho_y=0 |
| 115 |
|
|
\end{eqnarray} |
| 116 |
|
|
\\$\rho_x$ et $\rho_y$ sont les densités d'efforts en x et en y. |
| 117 |
|
|
\subsection{Signification d'un état de contraintes} |
| 118 |
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|
Avec la définition vue dans le paragraphe précédent, les valeurs du tenseur des contraintes dépendent du repère choisi. |
| 119 |
|
|
Ceci est illogique et scientifiquement incorrect. En fait, les états de contraintes sont les mêmes quelque soit le repère choisi. Cela veut dire qu'à partir d'un tenseur des contraintes donné dans un repère, il doit être possible d'obtenir le tenseur des contraintes du même état de contraintes dans un autre repère. |
| 120 |
|
|
\\ |
| 121 |
|
|
Pour établir ceci, étudions l'équilibre des contraintes sur une face triangulaire (figure \ref{conincline}). |
| 122 |
|
|
\begin{figure} |
| 123 |
|
|
\begin{center} |
| 124 |
|
|
\includegraphics[bb=0 0 157 202]{./conincline.JPG} |
| 125 |
|
|
% conincline.JPG: 209x269 pixel, 96dpi, 5.53x7.12 cm, bb=0 0 157 202 |
| 126 |
|
|
|
| 127 |
|
|
\caption{Équilibre des contraintes d'une face triangulaire} |
| 128 |
|
|
\end{center} |
| 129 |
|
|
\label{conincline} |
| 130 |
|
|
\end{figure} |
| 131 |
|
|
|
| 132 |
|
|
Somme des forces en $x'$ est nulle : |
| 133 |
|
|
\\ |
| 134 |
|
|
$\sigma_{x'}\Delta_{y'}\Delta_z-\sigma_x\cos\theta\Delta_y\Delta_z-\sigma_y\sin\theta\Delta_x\Delta_z-\tau_{xy}\Delta_x\Delta_z\cos\theta-\tau_{xy}\Delta_y\Delta_z\sin\theta =0 $ |
| 135 |
|
|
\\ En remarquant que $\Delta_x=\Delta_{y'}\sin\theta$ et que $\Delta_y=\Delta_{y'}\cos\theta$ on obtient |
| 136 |
|
|
\\ |
| 137 |
|
|
$\sigma_{x'}=\sigma_x\cos^2\theta+\sigma_y\sin^2\theta+2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta$ |
| 138 |
|
|
\\ |
| 139 |
|
|
Somme des forces en $y'$ est nulle :\\ |
| 140 |
|
|
$\tau_{x'y'}=(\sigma_y-\sigma_x)\sin\theta\cos\theta+\tau_{xy}(\cos^2\theta-\sin^2\theta)$ |
| 141 |
|
|
\\ |
| 142 |
|
|
En utilisant les relations trigonométriques on obtient alors : |
| 143 |
|
|
\begin{eqnarray} |
| 144 |
|
|
\sigma_{x'}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\theta+\tau_{xy}\sin2\theta |
| 145 |
|
|
\\ \sigma_{y'}=\sigma_{x'}(\theta+\frac{\pi}{2})=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\theta-\tau_{xy}\sin2\theta |
| 146 |
|
|
\\ \tau_{x'y'}=\frac{\sigma_y-\sigma_x}{2}\sin2\theta+\tau_{xy}\cos2\theta |
| 147 |
|
|
\end{eqnarray} |
| 148 |
|
|
On remarque que $\sigma_x+\sigma_y=\sigma_{x'}+\sigma_{y'}$ |
| 149 |
|
|
|
| 150 |
|
|
\subsection{Contrainte normale maximale} |
| 151 |
|
|
D'après les résultats du paragraphe précédent, la contrainte normale maximale $\sigma$ peut être calculée : |
| 152 |
|
|
\\ [0.6cm] |
| 153 |
|
|
$\sigma$ max si $\frac{\partial\sigma_{x'}}{\partial\theta}=0$ |
| 154 |
|
|
\\ [0.6cm] soit $-(\sigma_x-\sigma_y)\sin2\theta+2\tau_{xy}\cos2\theta=0$ |
| 155 |
|
|
\\ [0.6cm] $\tan2\theta=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$ |
| 156 |
|
|
\\ [0.6cm] |
| 157 |
|
|
on en déduit que \\ [0.6cm] |
| 158 |
|
|
$\cos2\theta=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2\sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2+\tau^2_{xy}}}$ et que \\ [0.6cm] |
| 159 |
|
|
$\sin2\theta=\frac{\tau_{xy}}{\sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2+\tau^2_{xy}}}$ \\ [0.6cm] |
| 160 |
|
|
Les contraintes normales maximales (dans la direction $\theta$ définie par $\tan2\theta$) valent |
| 161 |
|
|
\begin{eqnarray} |
| 162 |
|
|
\sigma_{x'}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau^2_{xy}};\\ |
| 163 |
|
|
\tau_{x'y'}=0 |
| 164 |
|
|
\end{eqnarray} |
| 165 |
|
|
On appelle $\sigma_1$ la plus grande des 2 valeurs de $\sigma_{x'}$ et $\sigma_2$ la plus petite.\\ |
| 166 |
|
|
$\sigma_1$ et $\sigma_2$ sont les contraintes principales. |
| 167 |
|
|
\subsection{Contrainte de cisaillement maximale} |
| 168 |
|
|
La contrainte de cisaillement maximale $\tau$ peut être calculée : |
| 169 |
|
|
\\ |
| 170 |
|
|
$\tau$ max si $\frac{\partial\tau_{x'y'}}{\partial\theta}=0$ |
| 171 |
|
|
\\ [0.6cm] soit $-(\sigma_x-\sigma_y)\cos2\theta+2\tau_{xy}\sin\theta=0$ |
| 172 |
|
|
\\ [0.6cm] $\tan2\theta=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2\tau_{xy}}$ |
| 173 |
|
|
\\[0.6cm] |
| 174 |
|
|
Les contraintes de cisaillement maximales(dans la direction $\theta$ définie par $\tan2\theta$) valent |
| 175 |
|
|
\begin{eqnarray} |
| 176 |
|
|
\tau_{max}\text{ et }\tau_{min}=\pm\frac{1}{2}(\sigma_1-\sigma_2) |
| 177 |
|
|
\end{eqnarray} |
| 178 |
|
|
|
| 179 |
|
|
|
| 180 |
|
|
\section{État de contraintes 3D} |
| 181 |
|
|
L'état de contraintes 3D en un point $I$ est le cas général d'état de contraintes. Dans le tenseur des contraintes aucun terme n'est nul. Il existe donc 6 composantes. Aucune simplification n'est possible. |
| 182 |
|
|
\subsection{Contrainte dans une direction de l'espace} |
| 183 |
|
|
Soit une direction $\overrightarrow{\lambda}$ de l'espace définie par les 3 coordonnées $\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z$ et par la relation $\lambda^2_x+\lambda^2_y+\lambda^2_z=1$ |
| 184 |
|
|
\\ [0.6cm] Le vecteur contrainte $\overrightarrow{Sn}(Sn_x,Sn_y,Sn_z)$ est défini tel que |
| 185 |
|
|
\\ [0.6cm] |
| 186 |
|
|
$\begin{pmatrix} Sn_x \\ Sn_y \\ Sn_z \\ \end{pmatrix} = \left(\sigma\right)\begin{pmatrix} \lambda_x \\ \lambda_y \\ \lambda_z \\ \end{pmatrix}$ |
| 187 |
|
|
\\ [0.6cm] La contrainte normale dans la direction $\overrightarrow{\lambda}$ vaut \\ |
| 188 |
|
|
$\sigma_n=\overrightarrow{Sn}.\overrightarrow{\lambda}=\begin{pmatrix} \lambda_x & \lambda_y & \lambda_z \\ \end{pmatrix} \left(\sigma\right)\begin{pmatrix} \lambda_x \\ \lambda_y \\ \lambda_z \\ \end{pmatrix}$ |
| 189 |
|
|
\\ [0.6cm] Dans un plan orthogonal à la direction $\overrightarrow{\lambda}$, la contrainte de cisaillement vaut |
| 190 |
|
|
\\ [0.6cm] $\tau_{nt}=\sqrt{Sn^2-\sigma^2_n}$ (la direction est indéterminée à ce stade) |
| 191 |
|
|
\subsection{Les contraintes normales principales} |
| 192 |
|
|
Tout comme dans le cas 2D, les contraintes normales principales correspondent aux contraintes normales maximales. Elles se situent dans des faces de direction $\overrightarrow{\lambda_n}$ où les contraintes |
| 193 |
|
|
de cisaillement sont nulles. |
| 194 |
|
|
\\Le vecteur contrainte $\overrightarrow{Sn}$ est alors colinéaire avec le vecteur direction $\overrightarrow{\lambda_n}$ et on peut écrire que \\ [0.6cm] |
| 195 |
|
|
$\begin{pmatrix} Sn_x \\ Sn_y \\ Sn_z \\ \end{pmatrix} = \sigma_p\begin{pmatrix} \lambda_{n_x} \\ \lambda_{n_y} \\ \lambda_{n_z} \\ \end{pmatrix}$ |
| 196 |
|
|
\\ Or, de façon générale $\begin{pmatrix} Sn_x \\ Sn_y \\ Sn_z \\ \end{pmatrix} = \left(\sigma\right)\begin{pmatrix} \lambda_{n_x} \\ \lambda_{n_y} \\ \lambda_{n_z} \\ \end{pmatrix}$ |
| 197 |
|
|
\\ [0.6cm]En combinant, les 2 formulations il vient : |
| 198 |
|
|
\\ [0.6cm]$\begin{pmatrix} \sigma_x-\sigma_p & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{xy} & \sigma_y-\sigma_p & \tau_{yz} \\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z-\sigma_p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_{n_x} \\ \lambda_{n_y} \\ \lambda_{n_z} \\ \end{pmatrix}=0$ |
| 199 |
|
|
et $\lambda^2_{n_x}+\lambda^2_{n_y}+\lambda^2_{n_z}=1$ |
| 200 |
|
|
\\ [0.6cm] Ce système est un système aux valeurs propres. Il possède 3 solutions (3 faces où il n'existe pas de contraintes de cisaillement): |
| 201 |
|
|
\\ [0.6cm] $\sigma_1$ et $(\lambda_{1_x},\lambda_{1_y},\lambda_{1_z})$ |
| 202 |
|
|
\\ [0.6cm]$\sigma_2$ et $(\lambda_{2_x},\lambda_{2_y},\lambda_{2_z})$ |
| 203 |
|
|
\\ [0.6cm]$\sigma_3$ et $(\lambda_{3_x},\lambda_{3_y},\lambda_{3_z})$ |
| 204 |
|
|
\\ [0.6cm]On arrange les solutions pour que $\sigma_1>\sigma_2>\sigma_3$. |
| 205 |
|
|
\\ [0.6cm]Les trois directions $1,2,3$ sont orthogonales entre-elles, elles forment donc un repère appelé repère principal. Dans ce repère, l'état de contraintes vaut \\ |
| 206 |
|
|
\\ [0.6cm]$\sigma=\begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{pmatrix}$ |
| 207 |
|
|
\subsection{Les contraintes de cisaillement maximales} |
| 208 |
|
|
Précédemment, la contrainte de cisaillement a été calculée mais la direction est inconnue. Pour pallier à ceci, on se place dans le repère principale calculé d'axe $(1,2,3)$. Dans une facette quelconque de direction $\overrightarrow{\lambda_n}(\lambda_{n_1},\lambda_{n_2},\lambda_{n_3})$ |
| 209 |
|
|
le vecteur contrainte $\overrightarrow{Sn}(Sn_1,Sn_2,Sn_3)$ s'écrit\\ [0.6cm] |
| 210 |
|
|
|
| 211 |
|
|
$\begin{pmatrix} Sn_1 \\ Sn_2 \\ Sn_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda_{n_1} \\ \lambda_{n_2} \\ \lambda_{n_3} \\ \end{pmatrix}$ |
| 212 |
|
|
\\ [0.6cm] et la contrainte normale $\sigma_n$ s'écrit \\ [0.6cm] |
| 213 |
|
|
$\sigma_n = \begin{pmatrix} \lambda_{n_1} & \lambda_{n_2} & \lambda_{n_3} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda_{n_1} \\ \lambda_{n_2} \\ \lambda_{n_3} \\ \end{pmatrix}$ |
| 214 |
|
|
\\ On en déduit que \\ [0.6cm] |
| 215 |
|
|
$\tau^2_{nt}=Sn^2-\sigma^2_n$\\ [0.6cm] |
| 216 |
|
|
$\tau^2_{nt}=\sigma^2_1\lambda^2_{n_1}+\sigma^2_2\lambda^2_{n_2}+\sigma^2_3\lambda^2_{n_3}-\left(\sigma_1\lambda^2_{n_1}+\sigma_2\lambda^2_{n_2}+\sigma_3\lambda^2_{n_3} \right)^2$\\ |
| 217 |
|
|
\\ [0.6cm] En posant $\lambda^2_{n_3}=1-\lambda^2_{n_1}-\lambda^2_{n_2}$ on obtient \\ [0.6cm] |
| 218 |
|
|
$\tau^2_{nt}=\left(\sigma^2_1-\sigma^2_3 \right)\lambda^2_{n_1}+\left(\sigma^2_2-\sigma^2_3 \right)\lambda^2_{n_2}+\sigma^2_3-\left( \left(\sigma_1-\sigma_3\right)\lambda^2_{n_1}+ \left(\sigma_2-\sigma_3\right)\lambda^2_{n_2}+\sigma^2_3\right)^2$ |
| 219 |
|
|
\\ [0.6cm]$\tau_{nt}$ est maximale si $\frac{\partial\tau_{nt}}{\partial\lambda_{n_1}}=0$ et $\frac{\partial\tau_{nt}}{\partial\lambda_{n_2}}=0$ |
| 220 |
|
|
\\ [0.6cm] Ceci revient à \\ [0.6cm] |
| 221 |
|
|
$\left\{ |
| 222 |
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\begin{array}{rrrrr} |
| 223 |
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\lambda_{n_1}\left(\frac{1}{2}\left(\sigma_1-\sigma_3\right)-\left(\sigma_1-\sigma_3\right)\lambda^2_{n_1}-\left(\sigma_2-\sigma_3\right)\lambda^2_{n_2}\right)=0 |
| 224 |
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\\ \lambda_{n_2}\left( \frac{1}{2}\left(\sigma_2-\sigma_3\right)-\left(\sigma_1-\sigma_3\right)\lambda^2_{n_1}-\left(\sigma_2-\sigma_3\right)\lambda^2_{n_2}\right)=0 |
| 225 |
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\end{array} |
| 226 |
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\right.$ |
| 227 |
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\\ [0.6cm]On pose $\lambda_{n_2}=0$ |
| 228 |
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\\ [0.6cm]On trouve alors |
| 229 |
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$\left\{ |
| 230 |
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\begin{array}{rrrrr} |
| 231 |
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\lambda_{n_1}&=&\pm\frac{1}{\sqrt{2}} |
| 232 |
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\\ \lambda_{n_2}&=&0 |
| 233 |
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\\ \lambda_{n_3}&=&\pm\frac{1}{\sqrt{2}} |
| 234 |
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\end{array} |
| 235 |
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\right.$\\ [0.6cm] |
| 236 |
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La facette où les contraintes de cisaillement sont maximales est repérée par rapport au repère principale $(1,2,3)$. Elle se situe dans un plan normal à l'axe $2$ et dans une direction d'angle $\frac{\pi}{4}$ par rapport aux axes $1$ et $3$. |
| 237 |
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\\La valeur de la contrainte de cisaillement maximale vaut alors \\ [0.6cm]$\tau_{nt_{max}}=\left(\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\right)$ |
| 238 |
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| 239 |
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\section{Axes de référence} |
| 240 |
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L'état de contraintes a été défini dans une base $(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z})$. Cette base est a priori définie sur l'objet non déformé. Or après déformation, cette base a probablement bougé. |
| 241 |
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En fait, il y a deux manières d'exprimer ce mouvement de solide : |
| 242 |
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\begin{itemize} |
| 243 |
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\item La description eulérienne qui consiste à tout définir sur la pièce déformée. Ainsi la base varie en fonction du temps. Les grandeurs physiques s'expriment donc en fonction de $t,\overrightarrow{x}(t),\overrightarrow{y}(t) et \overrightarrow{z}(t)$. |
| 244 |
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\item La description lagrangienne qui consiste à tout définir sur la pièce initiale. Ainsi la base reste fixe au cours du temps. Les grandeurs physiques s'expriment en fonction de $t,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y} et \overrightarrow{z}$ |
| 245 |
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\end{itemize} |
| 246 |
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Selon la description choisie la méthode pour suivre ce mouvement n'est pas la même. Dans le cas de notre cours, on fait une hypothèse importante à ce stade. En élasticité, les déformations sont faibles donc les déplacements aussi. Ainsi, on estime qu'il n'y a pas de changement de position de la base et que le temps n'intervient pas. |
| 247 |
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La description lagrangienne est confondue avec la description eulérienne.\\ |
| 248 |
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Dès que cette hypothèse n'est plus vérifiée il faut faire intervenir les changements de direction de la base pour calculer l'état de contraintes. |
| 249 |
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\\Ceci est la première composante des HPP (Hypothèses de Petites Perturbations) qui seront complétées dans le prochain chapitre. |
