| 1 |
francois |
941 |
\section{Introduction} |
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Nous avons défini deux notions importantes pour les matériaux : l'état de contraintes et l'état de déformations. La définition de ces deux notions montre qu'il existe un rapport entre elles. |
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En effet les déformations sont dues à la présence de contraintes. |
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\\ |
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Les relations entre les contraintes et les déformations définissent le comportement d'un matériau qui est une des nombreuses propriétés d'un matériau. |
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\\ |
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La détermination du comportement d'un matériau se fait à l'aide d'un essai de traction. |
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\section{Essai de traction} |
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L'essai de traction consiste à étirer un matériau jusqu'à sa rupture. Au cours de l'essai on relève la courbe $\sigma_{xx}$ en fonction de $\epsilon_{xx}$. Cette courbe constitue la courbe |
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caractéristique du matériau et elle représente son comportement. |
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\begin{figure} |
| 16 |
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|
|
| 17 |
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|
\begin{center} |
| 18 |
|
|
\includegraphics[bb=0 0 593 317,width=0.85\textwidth]{./traction.JPG} |
| 19 |
|
|
% traction.JPG: 790x422 pixel, 96dpi, 20.90x11.17 cm, bb=0 0 593 317 |
| 20 |
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|
\caption{L'essai de traction} |
| 21 |
|
|
\end{center} |
| 22 |
|
|
\label{traction} |
| 23 |
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|
\end{figure} |
| 24 |
|
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| 25 |
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|
Le figure \ref{traction} montre le dispositif d'un essai de traction et différents types de résultats obtenus. Ainsi on peut citer : |
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|
\begin{itemize} |
| 27 |
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|
\item un matériau fragile. Le comportement est élastique linéaire (a). |
| 28 |
|
|
\item un matériau semi ductile. Le comportement est élastique linéaire (b). |
| 29 |
|
|
\item un matériau ductile. Le comportement est élasto-plastique (c). |
| 30 |
|
|
\item un matériau ductile avec palier d'écoulement. Le comportement est élasto-plastique (d). |
| 31 |
|
|
\end{itemize} |
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| 33 |
|
|
L'objectif du cours est d'étudier le comportement élastique linéaire et le comportement élasto-plastique. La suite de ce chapitre traite de l'élasticité linéaire alors que le reste du cours permet d'expliquer le comportement élasto-plastique. |
| 34 |
|
|
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| 35 |
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|
\section{Le comportement élastique linéaire} |
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\subsection{La loi de Hooke} |
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L'essai de traction d'un matériau élastique linéaire conduit à la loi de Hooke : |
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\begin{align} |
| 39 |
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|
\left\{ |
| 40 |
|
|
\begin{array}{llll} |
| 41 |
|
|
\epsilon_{x} &=& \frac{1}{E}\left[\sigma_x-\nu\left(\sigma_y+\sigma_z \right) \right]\\ |
| 42 |
|
|
\epsilon_{y} &=& \frac{1}{E}\left[\sigma_y-\nu\left(\sigma_x+\sigma_z \right) \right]\\ |
| 43 |
|
|
\epsilon_{z} &=& \frac{1}{E}\left[\sigma_z-\nu\left(\sigma_x+\sigma_y \right) \right]\\ |
| 44 |
|
|
\gamma_{xy} &=& \frac{\tau_{xy}}{G}\\ |
| 45 |
|
|
\gamma_{xz} &=& \frac{\tau_{xz}}{G}\\ |
| 46 |
|
|
\gamma_{yz} &=& \frac{\tau_{yz}}{G}\\ |
| 47 |
|
|
\end{array} |
| 48 |
|
|
\right. |
| 49 |
|
|
\end{align} |
| 50 |
|
|
$E$ est le module d'Young |
| 51 |
|
|
\\$G$ est le module de Coulomb |
| 52 |
|
|
\\$\nu$ est le coefficient de Poisson |
| 53 |
|
|
\\ |
| 54 |
|
|
$E$,$G$ et $\nu$ sont les trois paramètres élastiques d'un matériau isotrope et il sont liés par la relation suivante : \\ |
| 55 |
|
|
$G=\frac{E}{2(1+\nu)}$ |
| 56 |
|
|
|
| 57 |
|
|
Ces relations s'écrivent également sous la forme suivante : |
| 58 |
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|
|
| 59 |
|
|
\begin{align} |
| 60 |
|
|
\left\{ |
| 61 |
|
|
\begin{array}{llll} |
| 62 |
|
|
\sigma_{x} &=& \frac{E}{\left(1+\nu\right)\left(1-2\nu\right)}\left[\left(1-\nu\right)\epsilon_x+\nu\left(\epsilon_y+\epsilon_z \right) \right]\\ |
| 63 |
|
|
\sigma_{y} &=& \frac{E}{\left(1+\nu\right)\left(1-2\nu\right)}\left[\left(1-\nu\right)\epsilon_y+\nu\left(\epsilon_x+\epsilon_z \right) \right]\\ |
| 64 |
|
|
\sigma_{z} &=& \frac{E}{\left(1+\nu\right)\left(1-2\nu\right)}\left[\left(1-\nu\right)\epsilon_z+\nu\left(\epsilon_x+\epsilon_y \right) \right]\\ |
| 65 |
|
|
\tau_{xy} &=& G\gamma_{xy}\\ |
| 66 |
|
|
\tau_{xz} &=& G\gamma_{xz}\\ |
| 67 |
|
|
\tau_{yz} &=& G\gamma_{yz}\\ |
| 68 |
|
|
\end{array} |
| 69 |
|
|
\right. |
| 70 |
|
|
\end{align} |
| 71 |
|
|
|
| 72 |
|
|
\subsection{Forme matricielle de la loi de Hooke} |
| 73 |
|
|
Les relations du comportement élastique s'écrivent également sous forme matricielle : |
| 74 |
|
|
|
| 75 |
|
|
$ |
| 76 |
|
|
\begin{pmatrix} |
| 77 |
|
|
\epsilon_{xx} \\ |
| 78 |
|
|
\epsilon_{yy} \\ |
| 79 |
|
|
\epsilon_{zz} \\ |
| 80 |
|
|
\gamma_{xy} \\ |
| 81 |
|
|
\gamma_{yz} \\ |
| 82 |
|
|
\gamma_{xz} \\ |
| 83 |
|
|
\end{pmatrix}= |
| 84 |
|
|
\begin{pmatrix} |
| 85 |
|
|
\frac{1}{E} & \frac{-\nu}{E} & \frac{-\nu}{E} & 0 & 0 & 0\\ |
| 86 |
|
|
\frac{-\nu}{E} & \frac{1}{E} & \frac{-\nu}{E} & 0 & 0 & 0\\ |
| 87 |
|
|
\frac{-\nu}{E} & \frac{-\nu}{E} & \frac{1}{E} & 0 & 0 & 0\\ |
| 88 |
|
|
0 & 0 & 0 & \frac{2(1+\nu)}{E} & 0 & 0 \\ |
| 89 |
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{2(1+\nu)}{E} & 0 \\ |
| 90 |
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0& \frac{2(1+\nu)}{E} \\ |
| 91 |
|
|
\end{pmatrix} |
| 92 |
|
|
\begin{pmatrix} |
| 93 |
|
|
\sigma_{xx} \\ |
| 94 |
|
|
\sigma_{yy} \\ |
| 95 |
|
|
\sigma_{zz} \\ |
| 96 |
|
|
\tau_{xy} \\ |
| 97 |
|
|
\tau_{yz} \\ |
| 98 |
|
|
\tau_{xz} \\ |
| 99 |
|
|
\end{pmatrix} |
| 100 |
|
|
$ |
| 101 |
|
|
\\ou\\ |
| 102 |
|
|
$ |
| 103 |
|
|
\begin{pmatrix} |
| 104 |
|
|
\sigma_{xx} \\ |
| 105 |
|
|
\sigma_{yy} \\ |
| 106 |
|
|
\sigma_{zz} \\ |
| 107 |
|
|
\tau_{xy} \\ |
| 108 |
|
|
\tau_{yz} \\ |
| 109 |
|
|
\tau_{xz} \\ |
| 110 |
|
|
\end{pmatrix}=\frac{E}{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)} |
| 111 |
|
|
\begin{pmatrix} |
| 112 |
|
|
1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0\\ |
| 113 |
|
|
\nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0\\ |
| 114 |
|
|
\nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0\\ |
| 115 |
|
|
0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} & 0 & 0 \\ |
| 116 |
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} & 0 \\ |
| 117 |
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0& \frac{1-2\nu}{2} \\ |
| 118 |
|
|
\end{pmatrix} |
| 119 |
|
|
\begin{pmatrix} |
| 120 |
|
|
\epsilon_{xx} \\ |
| 121 |
|
|
\epsilon_{yy} \\ |
| 122 |
|
|
\epsilon_{zz} \\ |
| 123 |
|
|
\gamma_{xy} \\ |
| 124 |
|
|
\gamma_{yz} \\ |
| 125 |
|
|
\gamma_{xz} \\ |
| 126 |
|
|
\end{pmatrix} |
| 127 |
|
|
$ |
| 128 |
|
|
\subsection{Prise en compte de la température dans la loi de Hooke} |
| 129 |
|
|
La température n'a pas été prise en compte dans les relations précédentes. Or la dilatation thermique subie par un corps entraine également l'apparition de déformation. Dans le cas ou le corps est soumis à un gradient de température $\Delta T$ la loi de Hooke s'écrit |
| 130 |
|
|
\begin{align} |
| 131 |
|
|
\left\{ |
| 132 |
|
|
\begin{array}{llll} |
| 133 |
|
|
\epsilon_{x} &=& \frac{1}{E}\left[\sigma_x-\nu\left(\sigma_y+\sigma_z \right) \right]+\alpha\Delta T\\ |
| 134 |
|
|
\epsilon_{y} &=& \frac{1}{E}\left[\sigma_y-\nu\left(\sigma_x+\sigma_z \right) \right]+\alpha\Delta T\\ |
| 135 |
|
|
\epsilon_{z} &=& \frac{1}{E}\left[\sigma_z-\nu\left(\sigma_x+\sigma_y \right) \right]+\alpha\Delta T\\ |
| 136 |
|
|
\gamma_{xy} &=& \frac{\tau_{xy}}{G}\\ |
| 137 |
|
|
\gamma_{xz} &=& \frac{\tau_{xz}}{G}\\ |
| 138 |
|
|
\gamma_{yz} &=& \frac{\tau_{yz}}{G}\\ |
| 139 |
|
|
\end{array} |
| 140 |
|
|
\right. |
| 141 |
|
|
\end{align} |
| 142 |
|
|
$\alpha$ est le coefficient de dilatation thermique du matériau. |
| 143 |
|
|
\\Sous forme matricielle on peut écrire : \\ |
| 144 |
|
|
$ |
| 145 |
|
|
\begin{pmatrix} |
| 146 |
|
|
\epsilon_{xx} \\ |
| 147 |
|
|
\epsilon_{yy} \\ |
| 148 |
|
|
\epsilon_{zz} \\ |
| 149 |
|
|
\gamma_{xy} \\ |
| 150 |
|
|
\gamma_{yz} \\ |
| 151 |
|
|
\gamma_{xz} \\ |
| 152 |
|
|
\end{pmatrix}= |
| 153 |
|
|
\begin{pmatrix} |
| 154 |
|
|
\frac{1}{E} & \frac{-\nu}{E} & \frac{-\nu}{E} & 0 & 0 & 0\\ |
| 155 |
|
|
\frac{-\nu}{E} & \frac{1}{E} & \frac{-\nu}{E} & 0 & 0 & 0\\ |
| 156 |
|
|
\frac{-\nu}{E} & \frac{-\nu}{E} & \frac{1}{E} & 0 & 0 & 0\\ |
| 157 |
|
|
0 & 0 & 0 & \frac{2(1+\nu)}{E} & 0 & 0 \\ |
| 158 |
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{2(1+\nu)}{E} & 0 \\ |
| 159 |
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{2(1+\nu)}{E} \\ |
| 160 |
|
|
\end{pmatrix} |
| 161 |
|
|
\begin{pmatrix} |
| 162 |
|
|
\sigma_{xx} \\ |
| 163 |
|
|
\sigma_{yy} \\ |
| 164 |
|
|
\sigma_{zz} \\ |
| 165 |
|
|
\tau_{xy} \\ |
| 166 |
|
|
\tau_{yz} \\ |
| 167 |
|
|
\tau_{xz} \\ |
| 168 |
|
|
\end{pmatrix} |
| 169 |
|
|
+ |
| 170 |
|
|
\begin{pmatrix} |
| 171 |
|
|
\alpha\Delta T \\ |
| 172 |
|
|
\alpha\Delta T \\ |
| 173 |
|
|
\alpha\Delta T \\ |
| 174 |
|
|
0\\ |
| 175 |
|
|
0\\ |
| 176 |
|
|
0\\ |
| 177 |
|
|
\end{pmatrix} |
| 178 |
|
|
$ |
| 179 |
|
|
\section{Résolution d'un problème élastique} |
| 180 |
|
|
Le problème élastique est maintenant parfaitement défini. Il y a en tout 15 relations qui permettent de définir le problème : |
| 181 |
|
|
\begin{itemize} |
| 182 |
|
|
\item 3 relations d'équilibre\\ |
| 183 |
|
|
$ |
| 184 |
francois |
1035 |
\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z}+\rho_x=0 \\ |
| 185 |
|
|
\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial z}+\rho_y=0 \\ |
| 186 |
|
|
\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{z}}{\partial z}+\rho_z=0 \\ |
| 187 |
francois |
941 |
$ |
| 188 |
|
|
\item 6 relations de compatibilité géométrique\\ |
| 189 |
|
|
$ |
| 190 |
|
|
\epsilon_x=\frac{\partial u}{\partial x}\\ |
| 191 |
|
|
\epsilon_y=\frac{\partial v}{\partial y}\\ |
| 192 |
|
|
\epsilon_z=\frac{\partial w}{\partial z}\\ |
| 193 |
|
|
\gamma_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\\ |
| 194 |
|
|
\gamma_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\\ |
| 195 |
|
|
\gamma_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\\ |
| 196 |
|
|
$ |
| 197 |
|
|
\item 6 relations contraintes/déformations/température\\ |
| 198 |
|
|
$ |
| 199 |
|
|
\begin{array}{llll} |
| 200 |
|
|
\epsilon_{x} &=& \frac{1}{E}\left[\sigma_x-\nu\left(\sigma_y+\sigma_z \right) \right]+\alpha\Delta T\\ |
| 201 |
|
|
\epsilon_{y} &=& \frac{1}{E}\left[\sigma_y-\nu\left(\sigma_x+\sigma_z \right) \right]+\alpha\Delta T\\ |
| 202 |
|
|
\epsilon_{z} &=& \frac{1}{E}\left[\sigma_z-\nu\left(\sigma_x+\sigma_y \right) \right]+\alpha\Delta T\\ |
| 203 |
|
|
\gamma_{xy} &=& \frac{\tau_{xy}}{G}\\ |
| 204 |
|
|
\gamma_{xz} &=& \frac{\tau_{xz}}{G}\\ |
| 205 |
|
|
\gamma_{yz} &=& \frac{\tau_{yz}}{G}\\ |
| 206 |
|
|
\end{array} |
| 207 |
|
|
$ |
| 208 |
|
|
\end{itemize} |
